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  • 已知数列{an}的前n项和为Sn，且对一切正整数n都有Sn=n2+12an．（1）证明：an+1+an=4n+2；（2）求数列{an}的通项公式；（3）设f（n）=（1-1a1）（1-1a2）..（1-1an）√2n+1，求证：f（n+1）＜f（n）对一切n∈N×都成立．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      已知数列{an}的前n项和为Sn，且对一切正整数n都有Sn=n2+
      1
      2
      an．
      （1）证明：a      n+1+an=4n+2；
      （2）求数列{a      n}的通项公式；
      （3）设f（n）=（1-
      1
      a1
      ）（1-
      1
      a2
      ）..（1-
      1
      an
      ）
      √2n+1
      ，求证：f（n+1）＜f（n）对一切n∈N×都成立．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵Sn=n2+
      1
      2
      an．①
      ∴S      n+1=（n+1）2+
      1
      2
      an+1．②
      ∴②-①得：a      n+1+an=4n+2；
      （2）∵a      n+1+an=4n+2；
      ∴a      n+1-2（n+1）=-（an-2n）=…=（-1）n（a1-2）；
      又a      1=2
      ∴a      n=2n
      （3）∵f（n）=（1-
      1
      2
      ）（1-
      1
      4
      ）（1-
      1
      6
      ）…（1-
      1
      2n
      ）
      √2n+1

      ∴
      f(n+1)
      f(n)
      =
      √
      4n2+8n+3
      4n2+8n+4
      ＜1
      ∴f（n+1）＜f（n）对一切n∈N      ×都成立．
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