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已知函数f(x)=x2-1,g(x)=m|x-1|(m∈R).(1)若关于x的方程|f(x)|=g(x)只有一个实数解,求实数m的取值范围;(2)若当x∈R时,关于x的不等式f(x)≥g(x)恒成立,求实数m的取值范围;(3)求函数h(x)=|f(x)|+g(x)在区间[0,2]上的最大值(直接写出结果,不需给出演算步骤).试题及答案-解答题-云返教育
试题详情
已知函数f(x)=x
2
-1,g(x)=m|x-1|(m∈R).
(1)若关于x的方程|f(x)|=g(x)只有一个实数解,求实数m的取值范围;
(2)若当x∈R时,关于x的不等式f(x)≥g(x)恒成立,求实数m的取值范围;
(3)求函数h(x)=|f(x)|+g(x)在区间[0,2]上的最大值(直接写出结果,不需给出演算步骤).
试题解答
见解析
解:(1)方程|f(x)|=g(x),即|x
2
-1|=m|x-1|,变形得|x-1|(|x+1|-m)=0,
显然,x=1已是该方程的根,从而欲使原方程只有一解,
即要求方程|x+1|=m有且仅有一个解为x=1的解或此方程无解,∴m<0,或m=2.
(2)当x∈R时,不等式f(x)≥g(x)恒成立,即(x
2
-1)≥m|x-1|(*)对x∈R恒成立,
①当x=1时,(*)显然成立,此时m∈R;
②当x≠1时,(*)可变形为m≤
x
2
-1
|x-1|
,令φ(x)=
x
2
-1
|x-1|
=
{
x+1 , x>1
-(x+1) ,x<1
,
因为当x>1时,φ(x)>2,当x<1时,φ(x)>-2,所以φ(x)>-2,故此时m≤-2.
综合①②,得所求实数m的取值范围是(-∞,-2].
(3)(Ⅲ)因为h(x)=|f(x)|+g(x)=|x
2
-1|+m|x-1|=
{
x
2
+mx-m-1(x≥1)
-x
2
-mx+m+1(-1≤x<1)
x
2
-mx+m-1(x<-1)
,
由此可得,
①当m≥0时,-
m
2
≤0,h(x)在[0,1)上递减,[1,2]上为增函数,由于h(0)=m+1,h(2)=3+m,
故它的最大值为h(2)=3+m.
②当-2≤m<0时,0<-
m
2
≤1,由于h(x)在[0,-
m
2
)上单调递增,在[-
m
2
,1)上单调递减,
在[1,2]上为增函数,且h(-
m
2
)=
(
m
2
+1)
2
,h(2)=3+m,故h(x)在[0,2]上的最大值为h(2)=a+m.
③当-3≤m<-2时,1<-
m
2
≤
3
2
,由于h(x)在[1,1]上递增,在[1,-
m
2
)上递减,在[-
m
2
,2]上递增,
h(1)=0,h(2)=3+m≥0,故h(x)在[0,2]上的最大值为h(2)=3+m.
④当m<-3时,-
m
2
>
3
2
,h(x)在[0,1)上递增,在[1,-
m
2
]上为减函数,在(-
m
2
,2]上递增,
故h(x)在[0,2]上的最大值为h(1)=0.
综上可得,当m≥-3时,h(x)在[0,2]上的最大值为h(2)=3+m;
当m<-3时,h(x)在[0,2]上的最大值h(1)=0.
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