• 已知函数f(x)=x2-1,g(x)=m|x-1|(m∈R).(1)若关于x的方程|f(x)|=g(x)只有一个实数解,求实数m的取值范围;(2)若当x∈R时,关于x的不等式f(x)≥g(x)恒成立,求实数m的取值范围;(3)求函数h(x)=|f(x)|+g(x)在区间[0,2]上的最大值(直接写出结果,不需给出演算步骤).试题及答案-解答题-云返教育

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      已知函数f(x)=x2-1,g(x)=m|x-1|(m∈R).
      (1)若关于x的方程|f(x)|=g(x)只有一个实数解,求实数m的取值范围;
      (2)若当x∈R时,关于x的不等式f(x)≥g(x)恒成立,求实数m的取值范围;
      (3)求函数h(x)=|f(x)|+g(x)在区间[0,2]上的最大值(直接写出结果,不需给出演算步骤).

      试题解答


      见解析
      解:(1)方程|f(x)|=g(x),即|x2-1|=m|x-1|,变形得|x-1|(|x+1|-m)=0,
      显然,x=1已是该方程的根,从而欲使原方程只有一解,
      即要求方程|x+1|=m有且仅有一个解为x=1的解或此方程无解,∴m<0,或m=2.
      (2)当x∈R时,不等式f(x)≥g(x)恒成立,即(x
      2-1)≥m|x-1|(*)对x∈R恒成立,
      ①当x=1时,(*)显然成立,此时m∈R;
      ②当x≠1时,(*)可变形为m≤
      x2-1
      |x-1|
      ,令φ(x)=
      x2-1
      |x-1|
      =
      {
      x+1 , x>1
      -(x+1) ,x<1

      因为当x>1时,φ(x)>2,当x<1时,φ(x)>-2,所以φ(x)>-2,故此时m≤-2.
      综合①②,得所求实数m的取值范围是(-∞,-2].
      (3)(Ⅲ)因为h(x)=|f(x)|+g(x)=|x
      2-1|+m|x-1|=
      {
      x2+mx-m-1(x≥1)
      -x2-mx+m+1(-1≤x<1)
      x2-mx+m-1(x<-1)

      由此可得,
      ①当m≥0时,-
      m
      2
      ≤0,h(x)在[0,1)上递减,[1,2]上为增函数,由于h(0)=m+1,h(2)=3+m,
      故它的最大值为h(2)=3+m.
      ②当-2≤m<0时,0<-
      m
      2
      ≤1,由于h(x)在[0,-
      m
      2
      )上单调递增,在[-
      m
      2
      ,1)上单调递减,
      在[1,2]上为增函数,且h(-
      m
      2
      )=(
      m
      2
      +1)2,h(2)=3+m,故h(x)在[0,2]上的最大值为h(2)=a+m.
      ③当-3≤m<-2时,1<-
      m
      2
      3
      2
      ,由于h(x)在[1,1]上递增,在[1,-
      m
      2
      )上递减,在[-
      m
      2
      ,2]上递增,
      h(1)=0,h(2)=3+m≥0,故h(x)在[0,2]上的最大值为h(2)=3+m.
      ④当m<-3时,-
      m
      2
      3
      2
      ,h(x)在[0,1)上递增,在[1,-
      m
      2
      ]上为减函数,在(-
      m
      2
      ,2]上递增,
      故h(x)在[0,2]上的最大值为h(1)=0.
      综上可得,当m≥-3时,h(x)在[0,2]上的最大值为h(2)=3+m;
      当m<-3时,h(x)在[0,2]上的最大值h(1)=0.
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