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  • 设函数f（x）=（x-a）2x，a∈R．（Ⅰ）若x=1为函数y=f（x）的极值点，求实数a；（Ⅱ）求实数a的取值范围，使得对任意的x∈（-∞，2]，恒有f（x）≤4成立．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      设函数f（x）=（x-a）2x，a∈R．
      （Ⅰ）若x=1为函数y=f（x）的极值点，求实数a；
      （Ⅱ）求实数a的取值范围，使得对任意的x∈（-∞，2]，恒有f（x）≤4成立．

      试题解答

      见解析
      解：（Ⅰ）求导函数可得f'（x）=（3x-a）（x-a）．
      ∵x=1为函数y=f（x）的极值点，∴f'（1）=（3-a）（1-a）=0．
      ∴a=1或a=3
      a=1时，f'（x）=（3x-1）（x-1），函数在x=1的左右附近先减后增，符合题意；
      a=3时，f'（x）=（3x-3）（x-3），函数在x=1的左右附近先增后减，符合题意；
      ∴a=1或a=3；
      （Ⅱ）对任意的x∈（-∞，2]，恒有f（x）≤4成立，即（x-a）      2x≤4对任意的x∈（-∞，2]恒成立
      ∴|a-x|≤
      2
      √x
      对任意的x∈（0，2]恒成立
      ∴x-
      2
      √x
      ≤a≤x+
      2
      √x

      令g（x）=x-
      2
      √x
      ，h（x）=x+
      2
      √x
      ，x∈（0，2]
      g′（x）=1+x      -
      3
      2
      ＞0，∴g（x）=x-
      2
      √x
      在（0，2]上单调递增，∴g（x）max=g（2）=2-
      √2
      ，
      h′（x）=1-
      1
      x
      √x
      =
      x
      √x
      -1
      x
      √x
      ，则0＜x＜1时，h（x）单调递减，1＜x＜2时，h（x）单调递增
      ∴h（x）      min=h（1）=3
      ∴2-
      √2
      ≤a≤3
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