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已知f(x)=x2+3x+1,g(x)=a-1x-1+x.(I)a=2时,求y=f(x)和y=g(x)的公共点个数;(II)a为何值时,y=f(x)和y=g(x)的公共点个数恰为两个.试题及答案-解答题-云返教育
试题详情
已知f(x)=x
2
+3x+1,g(x)=
a-1
x-1
+x.
(I)a=2时,求y=f(x)和y=g(x)的公共点个数;
(II)a为何值时,y=f(x)和y=g(x)的公共点个数恰为两个.
试题解答
见解析
解:(I)a=2时,令f(x)=g(x)可得 x
2
+3x+1=
1
x-1
+x,整理可得 x
3
+x
2
-x-2=0 (x≠1).
令y=x
3
+x
2
-x-2=0 (x≠1),它的导数为y′=3x
2
+2x-1,令y′=0,可得 x
1
=-1,
x
2
=
1
3
.
故函数y的极值点在-1和
1
3
处,且两个极值都是负数,故函数y与x轴的交点只有一个,故y=f(x)和y=g(x)的公共点只有一个.
(II)联立y=f(x)和y=g(x)得 x
2
+3x+1=
a-1
x-1
+x,整理可得 a=x
3
+x
2
-x,且 x≠1.
令函数h(x)=x
3
+x
2
-x,可得函数h(x) 的极值点在-1和
1
3
处,画出h(x)的草图,
当x=-1时,h(x)=1; 当x=
1
3
时,h(x)=
-5
27
.
故当a=1时,y=a和y=h(x)仅有一个交点,因为(1,1)不在h(x)上,不满足条件.
故当a=
-5
27
时,结合图象可得y=a和y=h(x)恰有2个交点.
综上,只有当a=
-5
27
时,才能满足y=a和y=h(x)恰有2个交点.
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