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  • 已知函数f（x）={-x2+12x，x＜0ln(x+1)， x≥0，若f（x）-kx有三个零点，则k的取值范围为 ．试题及答案-填空题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=
      {
      -x2+
      1
      2
      x，x＜0
      ln(x+1)， x≥0
      ，若f（x）-kx有三个零点，则k的取值范围为          ．

      试题解答

      (
      1
      2
      ，1)
      解：由题意画出图象：
      （1）当x=0时，f（0）=ln1=0，k×0=0，0是函数f（x）-kx的一个零点；
      （2）由函数的图象和单调性可以看出，当x＞0和x＜0时，分别有一个零点．
      ①．当x＜0时，由-x      2+
      1
      2
      x=kx，化为x=
      1
      2
      -k＜0，解得k＞
      1
      2
      ；
      ②当x＞0时，只考虑k＞
      1
      2
      即可，
      令g（x）=ln（x+1）-kx，则      g′(x)=
      1
      x+1
      -k，
      A．当k≥1时，则g      ′（x）＜0，即g（x）在（0，+∞）上单调递减，∴g（x）＜g（0）=0，g（x）无零点，应舍去；
      B．当
      1
      2
      ＜k＜1时，0＜
      1-k
      k
      ＜1，
      g      ′（x）=
      -k(x-
      1-k
      k
      )
      x+1
      ，令g′（x）=0，解得x=
      1
      k
      -1，列表如下：
      由表格可知：当x=
      1-k
      k
      时，g（x）取得极大值，也是最大值，当且仅当g(
      1-k
      k
      )≥0时，g（x）才有零点，
      g(
      1-k
      k
      )=ln
      1
      k
      -(1-k)=k-lnk-1．
      下面证明h（k）=k-lnk-1＞0，k∈(
      1
      2
      ，1)．
      ∵      h′(k)=1-
      1
      k
      =
      k-1
      k
      ＜0，∴h（k）在(
      1
      2
      ，1)上单调递减，∴g(
      1-k
      k
      )=h（k）＞h（1）=1-ln1-1=0，
      因此g(
      1-k
      k
      )＞0在k∈(
      1
      2
      ，1)时成立．
      综上可知：当且仅当
      1
      2
      ＜k＜1时，函数f（x）-kx有三个零点．
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      必修1人教A版填空题高中数学

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