用电阻值分别为a1、a2、a3、a4、a5、a6 （a1＞a2＞a3＞a4＞a5＞a6）的电阻组装成一个如图的组件，在组装中应如何选取电阻，才能使该组件总电阻值最小？证明你的结论．试题及答案-解答题-云返教育

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用电阻值分别为a₁、a₂、a₃、a₄、a₅、a₆ （a₁＞a₂＞a₃＞a₄＞a₅＞a₆）的电阻组装成一个如图的组件，在组装中应如何选取电阻，才能使该组件总电阻值最小？证明你的结论．

试题解答

见解析

解：设6个电阻的组件（如图3）的总电阻为R_FG．
当R_i=a_i，i=3，4，5，6，R₁，R₂是a₁，a₂的任意排列时，R_FG最小．…（5分）
证明如下：
1°设当两个电阻R₁，R₂并联时，所得组件阻值为R：则

R₁

R₂

．
故交换二电阻的位置，不改变R值，且当R₁或R₂变小时，R也减小，因此不妨取R₁＞R₂．
2°设3个电阻的组件（如图1）的总电阻为R_AB：R_AB=

R₁R₂

R₁+R₂

+R₃=

R₁R₂+R₁R₃+R₂R₃

R₁+R₂

．
显然R₁+R₂越大，R_AB越小，所以为使R_AB最小必须取R₃为所取三个电阻中阻值最小的一个．
3°设4个电阻的组件（如图2）的总电阻为R_CD：

R_CD

R_AB

R₄

R₁R₂+R₁R₃+R₁R₄+R₂R₃+R₂R₄

R₁R₂R₄+R₁R₃R₄+R₂R₃R₄

．
若记S₁=

1≤i＜j≤4R_iR_j，S₂=

1≤i＜j＜k≤4R_iR_jR_k，则S₁、S₂为定值．
于是R_CD=

S₂-R₁R₂R₃

S₁-R₃R₄

．
只有当R₃R₄最小，R₁R₂R₃最大时，R_CD最小，故应取R₄＜R₃，R₃＜R₂，R₃＜R₁，即得总电阻的阻值最小．…（15分）
4°对于图3，把由R₁、R₂、R₃组成的组件用等效电阻R_AB代替．
要使R_FG最小，由3°必需使R₆＜R₅；且由1°，应使R_CE最小；由2°知要使R_CE最小，必需使R₅＜R₄，且应使R_CD最小．
而由3°，要使R_CD最小，应使R₄＜R₃＜R₂且R₄＜R₃＜R₁．
这就说明，要证结论成立…（20分）

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