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  • 已知函数f(x)=4x-a1+x2在区间[m，n]上为增函数，且f（m）f（n）=-4．（1）当a=3时，求m，n的值；（2）当f（n）-f（m）最小时，①求a的值；②若P（x1，y1），Q（x2，y2）（a＜x1＜x2＜n）是f（x）图象上的两点，且存在实数x0使得f′(x0)=f(x2)-f(x1)x2-x1，证明：x1＜x0＜x2．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f(x)=
      4x-a
      1+x2
      在区间[m，n]上为增函数，且f（m）f（n）=-4．
      （1）当a=3时，求m，n的值；
      （2）当f（n）-f（m）最小时，
      ①求a的值；
      ②若P（x      1，y1），Q（x2，y2）（a＜x1＜x2＜n）是f（x）图象上的两点，且存在实数x0使得f′(x0)=
      f(x2)-f(x1)
      x2-x1
      ，证明：x1＜x0＜x2．

      试题解答

      见解析
      解：f′(x)=
      4(1+x2)-2x(4x-a)
      (1+x2)2
      =
      -2(2x2-ax-2)
      (1+x2)2
      ．（2分）
      （1）当a=3时，由f′(x)=
      -2(2x2-3x-2)
      (1+x2)2
      =
      -2(2x+1)(x-2)
      (1+x2)2
      =0，
      得x=-
      1
      2
      或x=2，
      所以f（x）在[-
      1
      2
      ，2]上为增函数，在(-∞，-
      1
      2
      )，（2，+∞）上为减函数，（4分）
      由题意知-
      1
      2
      ≤m＜n≤2，且f(-
      1
      2
      )≤f(m)＜0＜f(n)≤f(2)．
      因为f(-
      1
      2
      )=-4，f(2)=1，所以-4=f(m)f(n)≥f(-
      1
      2
      )f(2)=-4，
      可知m=-
      1
      2
      ，n=2．（7分）
      （2）①因为f(n)-f(m)=f(n)+[-f(m)]≥2
      √f(n)[-f(m)]
      =4，
      当且仅当f（n）=-f（m）=2时等号成立．（8分）
      由f(n)=
      4n-a
      1+n2
      =2，有-a=2（n-1）2≥0，得a≤0；（9分）
      由f(m)=
      4m-a
      1+m2
      =-2，有a=2（m+1）2≥0，得a≥0；（10分）
      故f（n）-f（m）取得最小值时，a=0，n=1．（11分）
      ②此时，f′(x      0)=
      4(1-x
      2
      0
      )
      (1+x
      2
      0
      )2
      ，
      f(x2)-f(x1)
      x2-x1
      =
      4(1-x1x2)
      (1+x
      2
      1
      )(1+x
      2
      2
      )
      ，
      由f′(x      0)=
      f(x2)-f(x1)
      x2-x1
      知，
      1-x
      2
      0
      (1+x
      2
      0
      )2
      =
      1-x1x2
      (1+x
      2
      1
      )(1+x
      2
      2
      )
      ，（12分）
      欲证x      1＜x0＜x2，先比较
      1-x
      2
      0
      (1+x
      2
      0
      )2
      与
      1-x
      2
      1
      (1+x
      2
      1
      )2
      的大小．
      1-x
      2
      0
      (1+x
      2
      0
      )2
      -
      1-x
      2
      1
      (1+x
      2
      1
      )2

      =
      1-x1x2
      (1+x
      2
      1
      )(1+x
      2
      2
      )
      -
      1-x
      2
      1
      (1+x
      2
      1
      )2

      =
      (x1-x2)(2x1+x2-x
      2
      1
      x2)
      (1+x
      2
      1
      )2(1+x
      2
      2
      )

      =
      (x1-x2)[x1(2-x1x2)+x2]
      (1+x
      2
      1
      )2(1+x
      2
      2
      )

      因为0＜x      1＜x2＜1，所以0＜x1x2＜1，有x1（2-x1x2）+x2＞0，
      于是（x      1-x2）[x1（2-x1x2）+x2]＜0，即
      1-x
      2
      0
      (1+x
      2
      0
      )2
      -
      1-x
      2
      1
      (1+x
      2
      1
      )2
      ＜0，（13分）
      另一方面，
      1-x
      2
      0
      (1+x
      2
      0
      )2
      -
      1-x
      2
      1
      (1+x
      2
      1
      )2
      =
      (x
      2
      1
      -x
      2
      0
      )(3+x
      2
      1
      +x
      2
      0
      -x
      2
      1
      x
      2
      0
      )
      (1+x
      2
      0
      )2(1+x
      2
      1
      )2
      ，
      因为0＜x      12x02＜1，所以3+x12+x02-x12x02＞0，从而x12-x02＜0，即x1＜|x0|（14分）
      同理可证x      0＜x2，因此x1＜|x0|＜x2．（15分）
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