a＞0
令g（x）=ax+1，y=log3x为定义域上的增函数，则f（x）=log3（ax+1）为复合函数，f（x）=log3（ax+1）在[2，4]上是增函数，根据复合函数“同增异减”的性质，可得g（x）=ax+1在[2，4]上亦为增函数，于是可得答案．
∵y=log3x为定义域上的增函数，令g（x）=ax+1，则f（x）=log3g（x）为复合函数，
又∵f（x）=log3（ax+1）在[2，4]上是增函数，根据复合函数“同增异减”的性质，
∴g（x）=ax+1在[2，4]上亦为增函数，
∴a＞0．
故答案为：a＞0．
