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设函数f（x）=ax（a＞0，a≠1）的定义域和值域均为[m，n]，则a的取值范围是．试题及答案-填空题-云返教育

试题详情

设函数f（x）=a^x（a＞0，a≠1）的定义域和值域均为[m，n]，则a的取值范围是．

试题解答

（1，e^1
e）

解：f（x）=a^x（a＞0，a≠1）的定义域和值域均为[m，n]，
那么y=f（x）与y=x的图象有两个交点
即方程f（x）-x=0有两个不相等的实数根．
设g（x）=f（x）-x=a^x-x
则g'（x）=a^xlna-1
令g'（x）=0 得 a^x=

1

lna

＞0，说明a＞1
所以x=log _a(

1

lna

)=-log _a(lna)
所以当x=-log_a（lna）时，g（x）取得最小值a^{-ln _a(lna)}+log _a(lna)
由a^{-ln _a(lna)}+log _a(lna)＜0 得
1＜a＜e^1
e
故答案为：（1，e^1
e）．

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必修1 人教A版填空题高中数学

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