见解析
解：（1）∵f（xy）=f（x）+f（y）对于任意x，y∈R都成立．
令x=y=1，则f（1）=f（1）+f（1），解得f（1）=0；
令x=y=-1，则f（1）=f（-1）+f（-1），解得f（-1）=0；
（2）令y=-1，由f（xy）=f（x）+f（y），得f（-x）=f（x）+f（-1），
又f（-1）=0，
∴f（-x）=f（x），
又∵f（x）不恒为0，
∴f（x）为偶函数；
（3）∵f（xy）=f（x）+f（y），f（4）=1
则f（16）=f（4×4）=f（4）+f（4）=2f（4）=2，
∴f（64）=f（4×16）=f（4）+f（16）=3
所以f（3x+1）+f（2x-6）=f[（3x+1）（2x-6）]=f（6x2-16x-6）≤3=f（64）
已知函数f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数
所以f（0）＜f（6x2-16x-6）≤f（64）
即0＜6x2-16x-6≤64，解得：3＜x≤5．
