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设函数f(x)=tx2+2t2x+t-1(x∈R,t>0).(Ⅰ)求f (x)的最小值h(t);(Ⅱ)若h(t)<-2t+m对t∈(0,2)恒成立,求实数m的取值范围.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
设函数f(x)=tx
2
+2t
2
x+t-1(x∈R,t>0).
(Ⅰ)求f (x)的最小值h(t);
(Ⅱ)若h(t)<-2t+m对t∈(0,2)恒成立,求实数m的取值范围.
试题解答
见解析
解:(Ⅰ)∵f(x)=t(x+t)
2
-t
3
+t-1(x∈R,t>0),
∴当x=-t时,f(x)取最小值f(-t)=-t
3
+t-1,
即h(t)=-t
3
+t-1;
(Ⅱ)令g(t)=h(t)-(-2t+m)=-t
3
+3t-1-m,
由g′(t)=-3t
2
+3=0得t=1,t=-1(不合题意,舍去)
当t变化时g′(t)、g(t)的变化情况如下表:
t
(0,1)
1
(1,2)
g′(t)
+
0
-
g(t)
递增
极大值1-m
递减
∴g(t)在(0,2)内有最大值g(1)=1-m
h(t)<-2t+m在(0,2)内恒成立等价于g(t)<0在(0,2)内恒成立,
即等价于1-m<0
所以m的取值范围为m>1.
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集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;集合的相等;元素与集合关系的判断;子集与真子集
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第1章 集合
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集合的表示法
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集合的确定性、互异性、无序性
元素与集合关系的判断
第3章 指数函数和对数函数
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正整数指数函数
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