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  • 设函数f（x）=x2-mlnx，h（x）=x2-x+a．（1）当a=0时，f（x）≥h（x）在（1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；（2）当m=2时，若函数k（x）=f（x）-h（x）在[1，3]上恰有两个不同零点，求实数 a的取值范围；（3）当m=2时，如果函数g（x）=-f（x）-ax的图象与x轴交于两点A（x1，0）、B（x2，0）且0＜x1＜x2．求证：g′（px1+qx2）＜0（其中正常数p，q满足p+q=1，且q≥p）．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      设函数f（x）=x2-mlnx，h（x）=x2-x+a．
      （1）当a=0时，f（x）≥h（x）在（1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；
      （2）当m=2时，若函数k（x）=f（x）-h（x）在[1，3]上恰有两个不同零点，求实数 a的取值范围；
      （3）当m=2时，如果函数g（x）=-f（x）-ax的图象与x轴交于两点A（x      1，0）、B（x2，0）且0＜x1＜x2．求证：g′（px1+qx2）＜0（其中正常数p，q满足p+q=1，且q≥p）．

      试题解答

      见解析
      解：（1）由a=0，f（x）≥h（x）可得-mlnx≥-x，即 m≤
      x
      lnx

      记 φ=
      x
      lnx
      ，则f（x）≥h（x）在（1，+∞）上恒成立等价于m≤φ（x）min．
      求得 φ′(x)=
      lnx-1
      ln2x

      当x∈（1，e）时；φ′（x）＜0；当x∈（e，+∞）时，φ′（x）＞0
      故φ（x）在x=e处取得极小值，也是最小值，
      即φ（x）      min=φ（e）=e，故m≤e．
      （2）函数k（x）=f（x）-h（x）在[1，3]上恰有两个不同的零点等价于方程x-2lnx=a，在[1，3]上恰有两个相异实根．
      令g（x）=x-2lnx，则 g′(x)=1-
      2
      x

      当x∈[1，2）时，g′（x）＜0，当x∈（2，3]时，g′（x）＞0
      g（x）在[1，2]上是单调递减函数，在（2，3]上是单调递增函数．
      故g（x）      min=g（2）=2-2ln2
      又g（1）=1，g（3）=3-2ln3
      ∵g（1）＞g（3），
      ∴只需g（2）＜a≤g（3），
      故a的取值范围是（2-2ln2，3-2ln3〕
      （3）∵g′(x)=
      2
      x
      -2x-a，又f（x）-ax=0有两个实根x1，x2，
      ∴
      {
      2lnx1-x12-ax1=0
      2lnx2-x22-ax2=0
      两式相减，得2（lnx1-lnx2）-（x12-x22）=a（x1-x2）
      ∴a=
      2(lnx1-lnx2)
      x1-x2
      -(x1+x2)，(x1＞0，x2＞0)
      于是       g/(px1+qx2)=
      2
      px1+qx2
      -2(px1+qx2)-
      2(lnx1-lnx2)
      x1-x2
      +(x1+x2)
      =
      2
      px1+qx2
      -
      2(lnx1-lnx2)
      x1-x2
      +(2p-1)(x2-x1)．
      ∵q＞p，∴2q≥1，∵2p≤1，∴（2p-1）（x      2-x1）＜0．
      要证：g′（px      1+qx2）＜0，只需证：
      2
      px1+qx2
      -
      2(lnx1-lnx2)
      x2-x1
      ＜0．
      只需证：
      x2-x1
      px1+qx2
      +ln
      x1
      x2
      ＜0．（*）
      令
      x1
      x2
      =t∈(0，1)，∴（*）化为
      1-t
      pt+1
      +lnt＜0
      只证 u(t)=lnt+
      1-t
      pt+q
      ＜0即可.u/(t)=
      1
      t
      +
      -(pt+q)-(1-t)?p
      (pt+q)2
      =
      1
      t
      -
      1
      (pt+q)2
      =
      (pt+q)2-t
      t(pt+q)2

      =
      p2(t-1)(t-
      q2
      p2
      )
      t(pt+q)2
      ，
      q2
      p2
      ＞1，0＜t＜1，
      ∴t-1＜0．∴u′（t）＞0，∴u（t）在（0，1）上单调递增，∴u（t）＜u（1）=0
      ∴u（t）＜0，∴lnt+
      1-t
      pt+q
      ＜0．
      即：
      x2-x1
      px1+qx2
      +ln
      x1
      x2
      ＜0．∴g′（px1+qx2）＜0．
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