已知二次函数f(x)=ax2+bx+1和g(x)=bx-1a2x+2b（1）f（x）为偶函数，试判断g（x）的奇偶性；（2）若方程g（x）=x有两个不相等的实根，当a＞0时判断f（x）在（-1，1）上的单调性；（3）当b=2a时，问是否存在x的值，使满足-1≤a≤1且a≠0的任意实数a，不等式f（x）＜4恒成立？并说明理由．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

已知二次函数f(x)=ax²+bx+1和g(x)=

bx-1

a²x+2b

（1）f（x）为偶函数，试判断g（x）的奇偶性；
（2）若方程g（x）=x有两个不相等的实根，当a＞0时判断f（x）在（-1，1）上的单调性；
（3）当b=2a时，问是否存在x的值，使满足-1≤a≤1且a≠0的任意实数a，不等式f（x）＜4恒成立？并说明理由．

见解析

解：（1）若f（x）为偶函数，有f（-x）=f（x）?b=0，则g（x）=

-1

a²x

，定义域为{x|x≠0}，且g（-x）=-g（x），所以g（x）为奇函数．
（2）由g（x）=x，整理得：a²x²+bx+1=0，且△=b²-4a²＞0?|

|＞1，即

＞1或

＜-1，又f（x）得对称轴为x=-

所以当-

＜-1时，f（x）在（-1，1）上为增函数；当-

＞1时，f（x）在（-1，1）上为减函数．
（3）由f（x）＜4，即ax²+2ax+1＜4，有ax²+2ax-3＜0
由已知它对于-1≤a≤1且a≠0时上面不等式恒成立，则有

{	x²+2x-3＜0 -x²-2x-3＜0

解得：-3＜x＜1．

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