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  • 设函数f（x）的定义域为D，若存在x0∈D，使f（x0）=x0成立，则称以（x0，x0）为坐标的点为函数f（x）图象上的不动点．（1）若函数f（x）=3x+ax+b图象上有两个关于原点对称的不动点，求a，b应满足的条件；（2）在（1）的条件下，若a=8，记函数f（x）图象上的两个不动点分别为A、B，点M为函数图象上的另一点，且其纵坐标yM＞3，求点M到直线AB距离的最小值及取得最小值时M点的坐标；（3）下述命题“若定义在R上的奇函数f（x）图象上存在有限个不动点，则不动点的有奇数个”是否正确？若正确，给出证明，并举一例；若不正确，请举一反例说明．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      设函数f（x）的定义域为D，若存在x0∈D，使f（x0）=x0成立，则称以（x0，x0）为坐标的点为函数f（x）图象上的不动点．
      （1）若函数f（x）=
      3x+a
      x+b
      图象上有两个关于原点对称的不动点，求a，b应满足的条件；
      （2）在（1）的条件下，若a=8，记函数f（x）图象上的两个不动点分别为A、B，点M为函数图象上的另一点，且其纵坐标y      M＞3，求点M到直线AB距离的最小值及取得最小值时M点的坐标；
      （3）下述命题“若定义在R上的奇函数f（x）图象上存在有限个不动点，则不动点的有奇数个”是否正确？若正确，给出证明，并举一例；若不正确，请举一反例说明．

      试题解答

      见解析
      解：（1）若点（x0，x0）是不动点，则
      3x0+a
      x0+b
      =x0，
      即x      02+（b-3）x0-a=0（1分）
      由题意方程有两绝对值相等，符号相反的根，∴b-3=0，且-a＜0
      即：b=3，且a＞0．…（3分）
      由x      0≠-b知，a≠9，∴b=3，a＞0且a≠9．…（5分）
      （2）当a=8时，由题意f（x）=
      3x+8
      x+3
      ．直线AB的方程是y=x．…（6分）
      设点M（x，y）到直线y=x的距离为d，则d=
      |x-y|
      √2
      =
      1
      √2
      |
      8-3y
      y-3
      -y|=
      1
      √2
      |
      8-y2
      y-3
      |=
      √2
      2
      ?
      y2-9+1
      y-3
      =
      √2
      2
      [(y+3)+
      1
      y-3
      ]
      =
      √2
      2
      [(y-3)+
      1
      y-3
      +6]≥4
      √2
      …（9分）
      当且仅当y-3=
      1
      y-3
      即y=4时，不等式取等号，
      此时x=-4，M（-4，4）．…（10分）
      （3）命题正确…（11分）
      由f（x）是奇函数，∴f（-x）=f（x），取x=0，得f（0）=0，
      即（0，0）为函数的不动点．…（12分）
      如果f（x）除0外还有不动点（x      1，x1），x1≠0，则不动点f（x1）=x1
      又∵f（-x      1）=-f（x1）=-x1，∴（-x1，-x1）也是函数的不动点．
      ∴若定义在R上的奇函数f（x）图象上存在有限个不动点，则不动点的有奇数个．（13分）
      例f（x）=x      3．…（14分）
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