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  • 已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，而且f（1）=1，若m、n∈[-1，1]，m+n≠0时有 f(m)+f(n)m+n＜0．（1）证明f（x）在[-1，1]上为减函数；（2）解不等式：f(x+12)＞f(32-x2)；（3）若f（x）≤t2-2at+1对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求实数t的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，而且f（1）=1，若m、n∈[-1，1]，m+n≠0时有
      f(m)+f(n)
      m+n
      ＜0．
      （1）证明f（x）在[-1，1]上为减函数；
      （2）解不等式：f(x+
      1
      2
      )＞f(
      3
      2
      -x2)；
      （3）若f（x）≤t      2-2at+1对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求实数t的取值范围．

      试题解答

      见解析
      证明：（1）任取-1≤x1＜x2≤1，则
      f（x      1）-f（x2）=f（x1）+f（-x2）=
      f(x1)+f(-x2)
      x1-x2
      ?(x1-x2)
      ∵-1≤x      1＜x2≤1，∴x1+（-x2）≠0，
      由已知
      f(x1)+f(-x2)
      x1-x2
      ＜0，又x1-x2＜0，
      ∴f（x      1）-f（x2）＞0，即f（x）在[-1，1]上为减函数；
      解：（2）∵f（x）在[-1，1]上为减函数，
      故有
      {
      x+
      1
      2
      ≥-1
      3
      2
      -x2＞x+
      1
      2
      3
      2
      -x2 ≤1
      ，
      解得
      √2
      2
      ≤x＜
      √5
      -1
      2
      ，或-
      3
      2
      ＜x≤-
      √2
      2
      ，
      ∴解集为： [
      √2
      2
      ，
      √5
      -1
      2
      )∪[-
      3
      2
      ，-
      √2
      2
      )
      （3）由（1）可知：f（x）在[-1，1]上是减函数，
      且f（1）=1，故对x∈[-l，1]，恒有f（x）≥1．
      所以要使f（x）≤t      2-2at+1，对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，
      即要t      2-2at+1≥1成立，故t2-2at≥0成立．
      ∴
      {
      t2+2t≥0
      t2-2t≥ 0
      ，
      解得：t≤-2或t≥2或t=0．
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