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  • 已知函数f(x)=√1+x+√1-x．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）是否存在正常数α，使不等式√1+x+√1-x≤2-x2α在0≤x≤1恒成立？如果存在，求出最小正数α，否则请说明理由．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f(x)=
      √1+x
      +
      √1-x
      ．
      （1）求函数f（x）的单调区间；
      （2）是否存在正常数α，使不等式
      √1+x
      +
      √1-x
      ≤2-
      x2
      α
      在0≤x≤1恒成立？如果存在，求出最小正数α，否则请说明理由．

      试题解答

      见解析
      解：（1）由f（x）=
      √1+x
      +
      √1-x
      知其定义域为：-1≤x≤1
      求导数得到f'（x）=
      1
      2
      （
      1
      √1+x
      -
      1
      √1-x
      ）
      令f'（x）=0得到：x=0
      1
      √1-x

      在0≤x＜1时，f'（x）≤0
      在-1＜x≤1时，f'（x）≥0
      因此f（x）在[0，1]上为减函数，在[-1，0]上为增函数 …（6分）
      （2）方法一：令
      √1+x
      +
      √1-x
      =t，则x2=1-
      1
      4
      (t2-2)2，又0≤x≤1，则
      √2
      ≤t≤2
      因此要使
      √1+x
      +
      √1-x
      ≤2-
      x2
      a
      恒成立．
      只需1-
      1
      4
      (t2-2)2≤a(2-t)在
      √2
      ≤t≤2恒成立．
      即需g（t）=（t      2-2）2-4α（t-2）-4≥0在t∈[
      √2
      ，2]上恒成立．只需g（t）的最小值大于等于0
      而g'（t）=4[t（t      2-2）-α]在
      √2
      ≤t≤2上单调递增．
      于是：g'（
      √2
      ）≤g'（t）≤g'（2）
      g'（
      √2
      ）=-4α＜0．g'（2）=16-α
      若g'（2）=16-α≤0，α≥4，则g（t）在t∈[
      √2
      ，2]上为减函数．g（t）的最小值 g（2）=0，符合要求．
      若g'（2）=16-α＞0，g（t）=（t      2-2）2-4α（t-2）-4在t∈[
      √2
      ，2]上先减后增．
      又∵g（2）=0，存在t      0，g（t0）＜0，不合题意．
      因此存在这样的正常数α，且求得α的最小值为4． …（13分）
      方法二：由解法1知只需1-
      1
      4
      (t2-2)2≤α(2-t)在
      √2
      ≤t≤2上恒成立
      当t=2时，显然成立当
      √2
      ≤t＜
      √2
      时，只需α≥
      1-
      1
      4
      (t2-2)2
      2-t
      =
      1
      4
      t2（t+2）恒成立，
      又
      1
      4
      t2(t+2)＜
      1
      4
      ?22（2+2）=4∴α≥4
      即α最小值为4． …（13分）
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      必修1人教A版单选题高中数学

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