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  • 若函数f（x）=√a-x+√x（a为常数），对于定义域内的任意两个实数x1、x2，恒有|f（x1）-f（x2）|＜1成立，用S（a）表示满足条件的所有正整数a的和，则S（a）= ．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      若函数f（x）=
      √a-x
      +
      √x
      （a为常数），对于定义域内的任意两个实数x1、x2，恒有|f（x1）-f（x2）|＜1成立，用S（a）表示满足条件的所有正整数a的和，则S（a）=          ．

      试题解答

      15
      解：设
      √x
      =
      √a
      cosθ，则
      √a-x
      =
      √a
      sinθ，θ∈[0，
      π
      2
      ]，
      则f（x）=
      √a-x
      +
      √x
      =
      √a
      sinθ+
      √a
      cosθ=
      √2a
      sin（θ+
      π
      4
      ），
      ∵0≤θ≤
      π
      2
      ，
      ∴
      π
      4
      ≤θ+
      π
      4
      ≤
      3π
      4
      ，
      ∴f      max（x）=
      √2a
      ，fmin（x）=
      √a
      ，
      要使对于定义域内的任意两个实数x      1、x2，恒有|f（x1）-f（x2）|＜1，
      则
      √2a
      -
      √a
      =（
      √2
      -1）?
      √a
      ＜1，
      即
      √a
      ＜
      1
      √2
      -1
      ，
      ∴a＜3+2
      √2
      ，
      ∵a为正整数，
      ∴a=1，2，3，4，5，
      则s（a）=1+2+3+4+5=15，
      故答案为：15
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      必修1人教A版单选题高中数学

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