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已知函数f(x)的定义域为R,且对于一切实数x满足f(x+2)=f(2-x),f(x+7)=f(7-x)(1)若f(5)=9,求:f(-5);(2)已知x∈[2,7]时,f(x)=(x-2)2,求当x∈[16,20]时,函数g(x)=2x-f(x)的表达式,并求出g(x)的最大值和最小值;(3)若f(x)=0的一根是0,记f(x)=0在区间[-1000,1000]上的根数为N,求N的最小值.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
已知函数f(x)的定义域为R,且对于一切实数x满足f(x+2)=f(2-x),f(x+7)=f(7-x)
(1)若f(5)=9,求:f(-5);
(2)已知x∈[2,7]时,f(x)=(x-2)
2
,求当x∈[16,20]时,函数g(x)=2x-f(x)的表达式,并求出g(x)的最大值和最小值;
(3)若f(x)=0的一根是0,记f(x)=0在区间[-1000,1000]上的根数为N,求N的最小值.
试题解答
见解析
解(1)由f(x+2)=f(2-x)及f(x+7)=f(7-x)得:f(x)的图象关于直线x=2,x=7对称.
∴f(x)=f[(x-2)+2]
=f[2-(x-2)]=f(4-x)
=f[7-(3+x)]=f(7+(3+x))
=f(x+10)
∴f(x)是以10为周期的周期函数.
∴f(-5)=f(-5+10)=f(5)=9
(2)当x∈[16,17],x-10∈[6,7]
∴f(x)=f(x-10)=(x-10-2)
2
=(x-12)
2
当x∈(17,20],x-20∈(-3,0],4-(x-20)∈[4,7)
∴f(x)=f(x-20)=f[4-(x-20)]
=f(24-x)=(x-22)
2
∴g(x)=
{
2x-(x-12)
2
x∈[16,17]
2x-(x-22)
2
x∈(17,20]
∵x∈[16,17]时,g(x)最大值为16,最小值为9;x∈(17,20],g(x)>g(17)=9,g(x)≤g(20)=36
∴g(x)的最大值为36,最小值为9.
(3)由f(0)=0,及f(0)=f(4)=0,知f(0)在[0,10)上至少有两个解.
而在[-1000,1000)上有200个周期,至少有400个解.又f(1000)=0
所以最少有401个解.且这401个解的和为-200.
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集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;集合的相等;元素与集合关系的判断;子集与真子集
相关试题
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第1章 集合
1.1 集合的含义与表示
集合的表示法
集合的分类
集合的含义
集合的确定性、互异性、无序性
元素与集合关系的判断
第3章 指数函数和对数函数
3.1 正整数指数函数
正整数指数函数
第4章 函数应用
4.1 函数与方程
二分法的定义
二分法求方程的近似解
根的存在性及根的个数判断
函数的零点
函数的零点与方程根的关系
函数零点的判定定理
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