已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，对?x∈R都有f（x-1）=f（x+1）成立，当x∈（0，1]且x1≠x2时，有f(x2)-f(x1)x2-x1＜0．给出下列命题：（1）f（1）=0（2）f（x）在[-2，2]上有5个零点（3）f（2014）=0（4）直线x=1是函数y=f（x）图象的一条对称轴则正确命题个数是（）试题及答案-单选题-云返教育

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已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，对?x∈R都有f（x-1）=f（x+1）成立，当x∈（0，1]且x₁≠x₂时，有

f(x₂)-f(x₁)

x₂-x₁

＜0．给出下列命题：
（1）f（1）=0
（2）f（x）在[-2，2]上有5个零点
（3）f（2014）=0
（4）直线x=1是函数y=f（x）图象的一条对称轴
则正确命题个数是（　　）

试题解答

解：由题意，令x=1代入f（x-1）=f（x+1）得，f（0）=f（1），
∵函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（1）=f（0）=0，故（1）正确；
又∵对?x∈R都有f（x-1）=f（x+1）成立，
∴f（x）=f（x+2），
则函数f（x）是以2为周期的周期函数，
∴f（-2）=f（0）=f（2）=0，且f（2014）=f（2×1007+0）=0，
∵函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（-1）=-f（1）=0，
∵当x∈（0，1]且x₁≠x₂时???有

f(x₂)-f(x₁)

x₂-x₁

＜0，
∴f（x）在（0，1]上递减，
由奇函数得，f（x）在[-2，2]上有5个零点，即（2）、（3）正确；
由f（x）=f（x+2）和奇函数得，-f（-x）=f（x+2），
求不出直线x=1是函数y=f（x）图象的一条对称轴
故（4）不正确，
故选C．

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必修1 人教A版单选题高中数学

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