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  • 已知：函数f（x）在（-1，1）上有定义，f(12)=-1，且对?x、y∈（-1，1）有f(x)+f(y)=f(x+y1+xy)．（Ⅰ）试判断函数f（x）的奇偶性；（Ⅱ）对于数列{xn}，有x1=12，xn+1=xn-xn+11-xnxn+1，试证明数列{f（xn）}成等比数列；（Ⅲ）求证：nΣi=1f(xi)＞f(45)．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知：函数f（x）在（-1，1）上有定义，f(
      1
      2
      )=-1，且对?x、y∈（-1，1）有f(x)+f(y)=f(
      x+y
      1+xy
      )．
      （Ⅰ）试判断函数f（x）的奇偶性；
      （Ⅱ）对于数列{x      n}，有x1=
      1
      2
      ，xn+1=
      xn-xn+1
      1-xnxn+1
      ，试证明数列{f（xn）}成等比数列；
      （Ⅲ）求证：      nΣi=1f(xi)＞f(
      4
      5
      )．

      试题解答

      见解析
      解：（Ⅰ）在f(x)+f(y)=f(
      x+y
      1+xy
      )中，令y=-x，得f（x）+f（-x）=f（0）
      再令x=y=0，得f（0）+f（0）=f（0），∴f（0）=0
      ∴f（-x）=-f（x），即函数f（x）为奇函数
      （Ⅱ）证明：由      xn+1=
      xn-xn+1
      1-xnxn+1
      得xn=
      2xn+1
      1+x
      2
      n+1

      ∵|
      2xn+1
      1+x
      2
      n+1
      |=
      2|xn+1|
      1+x
      2
      n+1
      ＜1∴-1＜xn=
      2xn+1
      1+x
      2
      n+1
      ＜1
      ∴f(x      n+1)=f(
      xn-xn+1
      1-xn?xn+1
      )=f(xn)+f(-xn+1)
      ∵函数f（x）为奇函数，∴f（x      n+1）=f（xn）-f（xn+1），2f（xn+1）=f（xn）
      ∵x      n≠0否则与x1=
      1
      2
      矛盾，∴f（xn）≠f（0）=0
      〔或f(x      n)=f(
      2xn+1
      1+x
      2
      n+1
      )=f(
      xn+1+xn+1
      1+xn+1?xn+1
      )=f(xn+1)+f(xn+1)=2f（xn+1）〕
      ∴
      f(xn+1)
      f(xn)
      =
      1
      2
      ，
      ∵f(x      1)=f(
      1
      2
      )=-1，∴{f（xn）}是以-1为首项，
      1
      2
      为公比的等比数列
      （Ⅲ）证明：又（Ⅱ）可得f(x      n)=-
      1
      2n-1

      ∵      nΣi=1f(xi)=f（x1）+f（x2）+…+f（xn）=-(1+
      1
      2
      +
      1
      22
      ++
      1
      2n-1
      )=-2+
      1
      2n-1
      f(
      4
      5
      )=f(
      1
      2
      +
      1
      2
      1+
      1
      2
      ×
      1
      2
      )=f(
      1
      2
      )+f(
      1
      2
      )=-2
      又∵n∈N      *∴-2+
      1
      2n-1
      ＞-2∴nΣi=1f(xi)＞f(
      4
      5
      )
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