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  • A是定义在[2，4]上且满足如下两个条件的函数Φ（x）组成的集合：①对任意的x∈[1，2]，都有Φ（2x）∈（1，2）；②存在常数L（0＜L＜1），使得对任意的x1，x2∈[1，2]，都有|Φ（2x1）-Φ（2x2）|≤L|x1-x2|；（1）设Φ(x)=√[3]1+x，x∈[2，4]，证明：Φ（x）∈A；（2）设Φ（x）∈A，如果存在x0∈（1，2），使得x0=Φ（2x0），那么，这样的x0是唯一的；（3）设Φ（x）∈A，任取x1∈（1，2），令xn+1=Φ（2xn），n=1，2，…，证明：给定正整数k，对任意的正整数p，不等式|xk+p-xk|≤Lk-11-L|x2-x1|成立．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      A是定义在[2，4]上且满足如下两个条件的函数Φ（x）组成的集合：
      ①对任意的x∈[1，2]，都有Φ（2x）∈（1，2）；
      ②存在常数L（0＜L＜1），使得对任意的x      1，x2∈[1，2]，都有|Φ（2x1）-Φ（2x2）|≤L|x1-x2|；
      （1）设Φ(x)=
      √[
      3]1+x，x∈[2，4]，证明：Φ（x）∈A；
      （2）设Φ（x）∈A，如果存在x      0∈（1，2），使得x0=Φ（2x0），那么，这样的x0是唯一的；
      （3）设Φ（x）∈A，任取x      1∈（1，2），令xn+1=Φ（2xn），n=1，2，…，
      证明：给定正整数k，对任意的正整数p，不等式|x      k+p-xk|≤
      Lk-1
      1-L
      |x2-x1|成立．

      试题解答

      见解析
      证明：（1）对任意x∈[1，2]，φ(2x)=
      √[
      3]1+2x，x∈[1，2]，
      于是
      √[
      3]3≤φ(2x)≤
      √[
      3]5，（2分）
      又1＜
      √[
      3]3＜
      √[
      3]5＜2，
      所以φ（2x）∈（1，2）．
      对任意x      1，x2∈（1，2），|φ（2x1）-φ（2x2）|
      =|
      √[
      3]1+2x1-
      √[
      3]1+2x2|=
      2|x1-x2|
      √[
      3](1+2x1)2+
      √[
      3](1+2x1)(1+2x2)+
      √[
      3](1+2xx)2

      由于
      √[
      3](1+2x1)2+
      √[
      3](1+2x1)(1+2x2+
      √[
      3](1+2x2)2＞3，
      所以0＜
      2
      √[
      3](1+2x1)2+
      √[
      3](1+2x1)(1+2x2)+
      √[
      3](1+2x2)2
      ＜
      2
      3
      ，（4分）
      令
      2
      √[
      3](1+2x1)2+
      √[
      3](1+2x1)(1+2x2)+
      √[
      3](1+2x2)2
      =L，
      则0＜L＜1，|φ（2x      1）-φ（2x2）|≤L|x1-x2|，所以φ（x）∈A．（7分）
      （2）反证法：设存在x      0，x0′∈（1，2），x0≠x0′，使得x0=φ（2x0），x0′=φ（2x0′），
      则由|φ（2x      0）-φ（2x0′）|≤L|x0-x0′|，
      得|x      0-x0'|≤L|x0-x0'|，所以L≥1，与题设矛盾，故结论成立．（10分）
      （3）|x      3-x2|=|φ（2x2）-φ（2x1）|≤L|x2-x1|，所以进一步可得|xn+1-xn|≤Ln-1|x2-x1|，n∈N*，（12分）
      于是|x      k+p-xk|=|（xk+p-xk+p-1）+（xk+p-1-xk+p-2）+…+（xk+1-xk）|
      ≤|x      k+p-xk+p-1|+|xk+p-1-xk+p-2|+…+|xk+1-xk|≤Lk+p-2|x2-x1|+LK+P-3|x2-x1|+…+Lk-1|x2-x1|=
      LK-1(1-Lp)
      1-L
      |x2-x1|≤
      LK-1
      1-L
      |x2-x1|．（16分）
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