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  • 定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy（x，y∈R），f（1）=2，则2010Σn=11f(n)= ．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy（x，y∈R），f（1）=2，则2010Σn=1
      1
      f(n)
      =          ．

      试题解答

      2010
      2011
      解：令y=1得f（x+1）=f（x）+2x+2，
      即f（n+1）=f（n）+2n+2，
      故f（2）-f（1）=2×1+2，
      f（3）-f（2）=2×2+2
      …
      f（n）-f（n-1）=2（n-1）+2
      以上n-1个式子相加得：
      f（n）-f（1）=2[1+2+3+…+（n-1）]+2n=n（n-1）+2n
      所以 f（n）=2[1+2+3+…+（n-1）]+2n+2=n（n-1）+2n+2=n（n+1）
      所以
      1
      f(n)
      =
      1
      n(n+1)
      =
      1
      n
      -
      1
      n+1

      故      2010Σn=1
      1
      f(n)
      =(1-
      1
      2
      )+(
      1
      2
      -
      1
      3
      )++(
      1
      2010
      -
      1
      2011
      )=1-
      1
      2011
      =
      2010
      2011
      ．故答案为：
      2010
      2011
      标签
      必修1人教A版单选题高中数学

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