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  • 在R+上的递减函数f（x）同时满足：（1）当且仅当x∈M?R+时，函数值f（x）的集合为[0，2]；（2）f（12）=1；（3）对M中的任意x1、x2都有f（x1?x2）=f（x1）+f（x2）；（4）y=f（x）在M上的反函数为y=f-1（x）．（1）求证：14∈M，但18?M；（2）求证：f-1（x1）?f-1（x2）=f-1（x1+x2）；（3）解不等式：f-1（x2-x）?f-1（x-1）≤12．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      在R+上的递减函数f（x）同时满足：（1）当且仅当x∈M?R+时，函数值f（x）的集合为[0，2]；（2）f（
      1
      2
      ）=1；（3）对M中的任意x1、x2都有f（x1?x2）=f（x1）+f（x2）；（4）y=f（x）在M上的反函数为y=f-1（x）．
      （1）求证：
      1
      4
      ∈M，但
      1
      8
      ?M；
      （2）求证：f      -1（x1）?f-1（x2）=f-1（x1+x2）；
      （3）解不等式：f      -1（x2-x）?f-1（x-1）≤
      1
      2
      ．

      试题解答

      见解析
      解：（1）证明：因为
      1
      2
      ∈M，又
      1
      4
      =
      1
      2
      ×
      1
      2
      ，f（
      1
      2
      ）=1，
      所以f（
      1
      4
      ）=f（
      1
      2
      ×
      1
      2
      ）=f（
      1
      2
      ）+f（
      1
      2
      ）=2∈[0，2]，所以
      1
      4
      ∈M，
      又因为f（
      1
      8
      ）=f（
      1
      4
      ×
      1
      2
      ）=f（
      1
      4
      ）+f（
      1
      2
      ）=3?[0，2]，所以
      1
      8
      ?M；
      （2）因为y=f（x）在M上递减，所以y=f（x）在M有反函数y=f      -1（x），x∈[0，2]
      任取x      1、x2∈[0，2]，设y1=f-1（x1），y2=f-1（x2），
      所以x      1=f（y1），x2=f（y2）（y1、y2∈M）
      因为x      1+x2=f（y1）+f（y2）=f（y1y2），
      所以y      1y2=f-1（x1+x2），又y1y2=f-1（x1）f-1（x2），
      所以：f      -1（x1）?f-1（x2）=f-1（x1+x2）；
      （3）因为y=f（x）在M上递减，所以f      -1（x）在[0，2]上也递减，
      f      -1（x2-x）?f-1（x-1）≤
      1
      2
      等价于：f-1（x2-x+x-1）≤f-1（1）
      {
      0≤x2-x≤ 2
      0≤x-1≤2
      x2-1≥1

      即：
      {
      -1≤x≤0或1≤x≤2
      1≤x≤3
      x≤ -
      √2
      或x≥
      √2

      所以
      √2
      ≤x≤2．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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