见解析
(1)证明:设x1,x2∈R,且x1<x2,则x2-x1>0,
∴f(x2-x1)>1,
又f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)
=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1),
∴f(x)是R上的增函数.
(2)解:∵m,n∈R,不妨设m=n=1,
∴f(1+1)=f(1)+f(1)-1,即f(2)=2f(1)-1,
f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)-1=2f(1)-1+f(1)-1=3f(1)-2=4,
∴f(1)=2,
∴f(a2+a-5)<2=f(1),
∵f(x)在R上为增函数,∴a2+a-5<1,解得-3<a<2,
∴a∈(-3,2).