已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），对任意正数x1，x2均有f（x1x2）=f（x1）+f（x2）．（Ⅰ）请写出一个这样的函数f（x）；（Ⅱ）若x＞1时，f（x）＞0，判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并加以证明．你还能发现f（x）的其他性质吗？试题及答案-单选题-云返教育

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已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），对任意正数x₁，x₂均有f（x₁x₂）=f（x₁）+f（x₂）．
（Ⅰ）请写出一个这样的函数f（x）；
（Ⅱ）若x＞1时，f（x）＞0，判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并加以证明．你还能发现f（x）的其他性质吗？

见解析

解：（Ⅰ）∵函数f（x）的定义域为（0，+∞），对任意正数x₁，x₂均有f（x₁x₂）=f（x₁）+f（x₂），
∴f（x）=0（x＞0）就是这样的函数（也可用f（x）=log₂x）．
（Ⅱ）类比对数函数提出猜想：f（x）在（0，+∞）上是增函数．
证明：设0＜x₁＜x₂，则

x₂

x₁

＞1，
∵x＞1时，f（x）＞0，
∴f（

x₂

x₁

）＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₁?

x₂

x₁

）=f（x₁）+f（

x₂

x₁

）-f（x₁）=f（

x₂

x₁

）＞0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数（证毕）．
f（x）还具有下列性质：f（x）的图象经过（1，0）；当0＜x＜1时，y＜0．

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