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  • 已知定义在正实数集R上的函数y=f（x）满足：①对任意a，b∈R都有f（a?b）=f（a）+f（b）②当x＞1时，f（x）＜0 ③f（3）=-1（1）求f（1）的值（2）证明函数y=f（x）在R上为单调减函数（3）若集合A={（p，q）|f（p2+1）-f（5q）-2＞0，p，q∈R+}，集合B={（p，q）|f（pq）+12=0，p，q∈R+}，问是否存在p，q，使A∩B≠?，若存在，求出p，q的值，不存在则说明理由．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知定义在正实数集R上的函数y=f（x）满足：①对任意a，b∈R都有f（a?b）=f（a）+f（b）②当x＞1时，f（x）＜0 ③f（3）=-1
      （1）求f（1）的值
      （2）证明函数y=f（x）在R上为单调减函数
      （3）若集合A={（p，q）|f（p      2+1）-f（5q）-2＞0，p，q∈R+}，集合B={（p，q）|f（
      p
      q
      ）+
      1
      2
      =0，p，q∈R+}，问是否存在p，q，使A∩B≠?，若存在，求出p，q的值，不存在则说明理由．

      试题解答

      见解析
      解：（1）令a=1，b=1，∵f（a?b）=f（a）+f（b）；
      ∴f（1）=f（1）+f（1）
      ∴f（1）=0
      （2）证明，设a，b为任意正实数，且0＜a＜b，
      ∴
      b
      a
      ＞1．
      ∴f（
      b
      a
      ）=f（b）+f（
      1
      a
      ），
      ∵f（1）=f（x）+f（
      1
      x
      ）=0
      ∴f（x）=-f（
      1
      x
      ）；
      ∴f（
      b
      a
      ）=f（b）+f（
      1
      a
      ）=f（b）-f（a）＜0；
      即f（b）＜f（a）；
      故函数y=f（x）在R上为单调减函数．
      （3）解∵f（p      2+1）-f（5q）-2＞0，由（2）知f（x）=-f（
      1
      x
      ）；
      ∴f（p      2+1）+f（
      1
      5q
      ）＞2；
      ∴f（
      p2+1
      5q
      ）＞2；
      又f（3）=-1，
      ∴f（
      1
      3
      ）=1
      ∴f（9）=-2；
      ∴f（
      1
      9
      ）=2；
      ∴f（
      p2+1
      5q
      ）＞2=f（
      1
      9
      ）；
      ∴
      p2+1
      5q
      ＜
      1
      9
      ①
      又∵f（
      p
      q
      ）+
      1
      2
      =0；
      ∴f（
      p
      q
      ）+
      1
      2
      f（
      1
      3
      ）=0；
      f（
      p
      q
      ）+f（
      1
      √3
      ）=0；
      ∴
      p
      √3
      q
      =1，p=
      √3
      q； ②
      由①②整理得：27q      2-5q+9＜0不成立，
      ∴不存在p，q，使A∩B≠?．
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