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已知函数f(x)定义在(-1,1)上,对于任意的x,y∈(-1,1),有f(x)+f(y)=f(x+y1+xy),且当x<0时,f(x)>0;(1)验证函数f(x)=ln1-x1+x是否满足这些条件;(2)从奇偶性和单调性的角度考虑,这样的函数f(x)还具有什么样的性质?将它写出来,并加以证明;(3)若f(-12)=1,试解方程f(x)=-12.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
已知函数f(x)定义在(-1,1)上,对于任意的x,y∈(-1,1),有f(x)+f(y)=f(
x+y
1+xy
),且当x<0时,f(x)>0;
(1)验证函数f(x)=ln
1-x
1+x
是否满足这些条件;
(2)从奇偶性和单调性的角度考虑,这样的函数f(x)还具有什么样的性质?将它写出来,并加以证明;
(3)若f(-
1
2
)=1,试解方程f(x)=-
1
2
.
试题解答
见解析
解:(1)由
1-x
1+x
可得-1<x<1,即其定义域为(-1,1)
f(x)+f(y)=ln
1-x
1+x
+ln
1-y
1+y
=ln(
1-x
1+x
?
1-y
1+y
)
=ln
1-x-y+xy
1+x+y+xy
=ln
1-
x+y
1+xy
1+
x+y
1+xy
=f(
x+y
1+xy
)
又∵当x<0时,1-x>1+x>0,
∴
1-x
1+x
>1可得ln
1-x
1+x
>0
∴f(x)=ln
1-x
1+x
满足这些条件.
(2)结论:函数f(x)是(-1,1)上的奇函数且是(-1,1)上的单调减函数.
证明如下
∵f(0)+f(0)=f(0),可得f(0)=0
∴f(-x)+f(x)=f(0)=0,得f(-x)=-f(x)
因此,f(x)在(-1,1)上是奇函数.
∵f(x)-f(y)=f(x)+f(-y)=f(
x-y
1-xy
),
∴当-1<x<y<1时
x-y
1-xy
<0,由条件知f(
x-y
1-xy
)>0,可得f(x)-f(y)>0
∴f(x)在(-1,1)上是减函数.
(3)∵f(x)在(-1,1)上是奇函数,f(-
1
2
)=1
∴f(
1
2
)=-1,方程f(x)=-
1
2
即2f(x)=-1
∵2f(x)=f(x)+f(x)=f(
2x
1+x
2
),f(x)在(-1,1)上是单调函数,
∴由f(
2x
1+x
2
)=-1,得
2x
1+x
2
=
1
2
,解之得x=2±
√
3
,
由于2+
√
3
?(-1,1),故x=2-
√
3
.
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单选题
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