已知函数f（x）的定义域是（0，+∞），当x＞1时，f（x）＞0．又f（xy）=f（x）+f（y）．（1）求f（1）的值；（2）求证：f（x）在定义域上是单调增函数；（3）如果f(13)=-1，求满足不等式-f(1x-2)≥2的x的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

已知函数f（x）的定义域是（0，+∞），当x＞1时，f（x）＞0．又f（xy）=f（x）+f（y）．
（1）求f（1）的值；
（2）求证：f（x）在定义域上是单调增函数；
（3）如果f(

)=-1，求满足不等式-f(

x-2

)≥2的x的取值范围．

见解析

解：（1）令x=y=1，得f（1）=f（1）+f（1），所以f（1）=0；
（2）设x₂＞x₁＞0，
f（x₂）-f（x₁）=f（

x₂

x₁

?x₁）-f（x₁）=f（

x₂

x₁

）+f（x₁）-f（x₁）=f（

x₂

x₁

），
∵

x₂

x₁

＞1，
∴f（

x₂

x₁

）＞0，
即f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在定义域上是增函数；
（3）∵f（

）=f（1）-f（3）=-f（3）=-1，
∴f（3）=1，
∴f（9）=f（3）+f（3）=2，
令y=

，得f（1）=f（x）+f（

）=0，
∴f（

）=-f（x），
∴-f（

x-2

）=f（1）-f（

x-2

）=f（x-2）≥2=f（9），f（x）在定义域上是增函数，
∴x-2≥9，
解得：x≥11．
∴x的取值范围为[11，+∞）．

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