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  • 函数f（x）的定义域为（0，+∞），且对一切x＞0，y＞0，都有 f（xy）=f（x）-f（y），当x＞1时，有f（x）＞0．（1）求f（1）的值；（2）判断f（x）的单调性并证明；（3）若f（6）=1，解不等式f（x+3）-f（1x）＜2．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      函数f（x）的定义域为（0，+∞），且对一切x＞0，y＞0，都有 f（
      x
      y
      ）=f（x）-f（y），当x＞1时，有f（x）＞0．
      （1）求f（1）的值；
      （2）判断f（x）的单调性并证明；
      （3）若f（6）=1，解不等式f（x+3）-f（
      1
      x
      ）＜2．

      试题解答

      见解析
      解：（1）令x=y=1，则f（1）=f（1）-f（1）=0，
      所以f（1）=0．
      （2）任取x      1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，
      则f（x      2）-f（x1）=f（
      x2
      x1
      ），
      ∵x      2＞x1＞0，
      ∴
      x2
      x1
      ＞1，故f（
      x2
      x1
      ）＞0，
      ∴f（x      2）-f（x1）＞0，
      即f（x      2）＞f（x1），
      所以f（x）在（0，+∞）上是增函数．
      （3）因为f（6）=1，所以f（36）-f（6）=f（6），
      所以f（36）=2f（6）=2．
      由f（x+3）-f （
      1
      x
      ）＜2，得f（x2+3x）＜f（36），
      所以
      {
      x+3＞0
      1
      x
      ＞0
      x2+3x＜36
      即
      {
      x＞-3
      x＞0
      -3-3
      √17
      2
      ＜x＜
      -3+3
      √17
      2

      解得：0＜x＜
      3
      √17
      -3
      2
      ．
      所以原不等式的解集为（0，
      3
      √17
      -3
      2
      ）．
      标签
      必修1人教A版单选题高中数学

    集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;集合的相等;元素与集合关系的判断;子集与真子集相关试题

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