已知定义在R上的函数f（x）对任意实数x．y恒有f（x）+f（y）=f（x+y）且当x＞0时，f（x）＜0，又f（1）=-23（1）求证：f（x）为奇函数；（2）求证：f（x）在R上为减函数；（3）求：f（x）在[-3，4]上的最大值与最小值．试题及答案-单选题-云返教育

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已知定义在R上的函数f（x）对任意实数x．y恒有f（x）+f（y）=f（x+y）且当x＞0时，f（x）＜0，又f（1）=-

（1）求证：f（x）为奇函数；
（2）求证：f（x）在R上为减函数；
（3）求：f（x）在[-3，4]上的最大值与最小值．

试题解答

见解析

解：（1）由题意结合x，y的任意性，
取x=y=0，可得f（0）+f（0）=f（0），解得f（0）=0，
取y=-x，可得f（x）+f（-x）=f（0）=0，即f（-x）=-f（x）
故f（x）为奇函数；
（2）任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
则f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁）
∵x₁＜x₂，∴x₂-x₁＞0，∴f（x₂-x₁）＜0
∴f（x₂）-f（x₁）＜0，f（x₂）＜f（x₁），
故函数f（x）在R上为减函数；
（3）∴f（x）+f（y）=f（x+y），
∴f（4）=f（2）+f（2）=2f（2）
=2f（1+1）=2[f（1）+f（1）]=4f（1）=-

，
进而可得f（-3）=f（-4+1）=f（-4）+f（1）
=-f（4）+f（1）=

=2
由（2）知函数在[-3，4]上单调递减，
故函数的最大值为f（-3）=2
函数的最小值为f（4）=-

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必修1 人教A版单选题高中数学

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