定义在（-1，1）上的函数f（x）满足：对任意m，n∈（-1，1）都有f（m）+f（n）=f（m+n1+mn），且当x∈（-1，0）时，有f（x）＞0．（1）求f（0）的值；（2）试判断f（x）的奇偶性；（3）判断并证明f（x）的单调性．试题及答案-单选题-云返教育

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定义在（-1，1）上的函数f（x）满足：对任意m，n∈（-1，1）都有f（m）+f（n）=f（

m+n

1+mn

），且当x∈（-1，0）时，有f（x）＞0．
（1）求f（0）的值；
（2）试判断f（x）的奇偶性；
（3）判断并证明f（x）的单调性．

见解析

解：（1）对条件中的m，n，令m=n=0，f（0）+f（0）=f（0）?f（0）=0，
（2）令n=x，m=-x，可得f（-x）+f（x）=f（0）=0，
∴f（-x）=-f（x）
所以f（x）是奇函数．
（3）设-1＜x₁＜x₂＜1，则f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f（

x₁-x₂

1-x₁x₂

），
∵x₁-x₂＜0，1-x₁x₂＞0，
∴

x₁-x₂

1-x₁x₂

＜0，|

x₁-x₂

1-x₁x₂

|＜1，
由条件（2）知f（

x₁-x₂

1-x₁x₂

）＞0，从而f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），故f（x）在（-1，1）上单调递减．

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