定义在R上的单调函数f（x）满足f(2)=32，且对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）．（Ⅰ）求证：f（x）为奇函数；（Ⅱ）若f（k?3x）+f（3x-9x-2）＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

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定义在R上的单调函数f（x）满足f(2)=

，且对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）．
（Ⅰ）求证：f（x）为奇函数；
（Ⅱ）若f（k?3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．

见解析

解：（Ⅰ）令x=y=0，得f（0+0）=f（0）+f（0），即f（0）=0．
令y=-x，则f（x-x）=f（x）+f（-x）=0，
即f（-x）=-f（x），∴函数f（x）是奇函数．
（Ⅱ）∵f(2)=

，f（0）=0，∴f（2）＞f（0），
又函数f（x）在R上的是单调函数，
∴函数在R上单调递增．
由f（k?3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0，
得f（k?3^x）＜-f（3^x-9^x-2）=f（-3^x+9^x+2），
即k?3^x＜-3^x+9^x+2恒成立，
∴k＜

9^x-3^x+2

3^x

，
∵

9^x-3^x+2

3^x

=3^x+

3^x

-1≥2

√3^x?

3^x

-1=2

√2

-1，
当且仅当3^x=

3^x

，即3^x=

√2

，x=log₃

√2

时取等号．
∴k＜2

√2

-1，
即实数k的取值范围是k＜2

√2

-1．

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