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已知函数f(x)(x∈R,且x>0),对于定义域内任意x、y恒有f(xy)=f(x)+f(y),并且x>1时,f(x)>0恒成立.(1)求f(1);(2)证明方程f(x)=0有且仅有一个实根;(3)若x∈[1,+∞)时,不等式f(x2+2x+ax)>0恒成立,求实数a的取值范围.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
已知函数f(x)(x∈R,且x>0),对于定义域内任意x、y恒有f(xy)=f(x)+f(y),并且x>1时,f(x)>0恒成立.
(1)求f(1);
(2)证明方程f(x)=0有且仅有一个实根;
(3)若x∈[1,+∞)时,不等式f(
x
2
+2x+a
x
)>0恒成立,求实数a的取值范围.
试题解答
见解析
解:(1)∵定义域内任意x、y恒有f(xy)=f(x)+f(y),
令x=y=1,
∴f(1)=2f(1),
∴f(1)=0;(2分)
证明:(2)任取0<x
1
<x
2
,则
x
2
x
1
>1,则题意得f(
x
2
x
1
)>0
又定义域内任意x、y恒有f(xy)=f(x)+f(y),∴f(xy)-f(y)=f(x),
∴f(x
2
)-f(x
1
)=f(
x
2
x
1
)>0
∴f(x
2
)>f(x
1
)
∴函数f(x)在其定义域内为增函数,由(1)和f(1)=0,
所以1为方程f(x)=0的一个实根,若还存在一个x
0
,且x
0
>0,使得f(x
0
)=0,
因为函数f(x)在其定义域内为增函数,必有x
0
=1,故方程f(x)=0有且仅有一个实根;(8分)
解:(3)由(2)知函数f(x)在其定义域内为增函数
当x∈[1,+∞)时,不等式f(
x
2
+2x+a
x
)>0=f(1)恒成立,即
x
2
+2x+a
x
>1恒成立
即x
2
+2x+a>x,即a>-x
2
-x在x∈[1,+∞)时恒成立
∵-x
2
-x在x∈[1,+∞)时最大值为-2
∴a>-2(14分)
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