已知：函数f（x）对一切实数x，y都有f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0．（1）求f（0）的值．（2）求f（x）的解析式．（3）已知a∈R，设P：当0＜x＜12时，不等式f（x）+3＜2x+a恒成立；Q：当x∈[-2，2]时，g（x）=f（x）-ax是单调函数．如果满足P成立的a的集合记为A，满足Q成立的a的集合记为B，求A∩CRB（R为全集）．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

已知：函数f（x）对一切实数x，y都有f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0．
（1）求f（0）的值．
（2）求f（x）的解析式．
（3）已知a∈R，设P：当0＜x＜

时，不等式f（x）+3＜2x+a恒成立；Q：当x∈[-2，2]时，g（x）=f（x）-ax是单调函数．如果满足P成立的a的集合记为A，满足Q成立的a的集合记为B，求A∩C_RB（R为全集）．

见解析

解：（1）令x=-1，y=1，则由已知f（0）-f（1）=-1（-1+2+1）
∴f（0）=-2
（2）令y=0，则f（x）-f（0）=x（x+1）
又∵f（0）=-2
∴f（x）=x²+x-2
（3）不等式f（x）+3＜2x+a即x²+x-2+3＜2x+a
也就是x²-x+1＜a．由于当0＜x＜

时，

＜x²-x+1＜1，又x²-x+1=(x-

)²+

＜a恒成立，
故A={a|a≥1}，g（x）=x²+x-2-ax=x²+（1-a）x-2 对称轴x=

a-1

，
又g（x）在[-2，2]上是单调函数，故有

a-1

≤-2，或

a-1

≥2，
∴B={a|a≤-3，或a≥5}，C_RB={a|-3＜a＜5}
∴A∩C_RB={a|1≤a＜5}．

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