已知函数y=f（x）（x≠0）对于任意的x，y∈R且x，y≠0满足f（xy）=f（x）+f（y）．（1）求f（1），f（-1）的值；（2）求证：y=f（x）为偶函数；（3）若y=f（x）在（0，+∞）上是增函数，解不等式f(16x)+f(x-5)≤0．试题及答案-单选题-云返教育

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已知函数y=f（x）（x≠0）对于任意的x，y∈R且x，y≠0满足f（xy）=f（x）+f（y）．
（1）求f（1），f（-1）的值；
（2）求证：y=f（x）为偶函数；
（3）若y=f（x）在（0，+∞）上是增函数，解不等式f(

x)+f(x-5)≤0．

试题解答

见解析

（1）解：∵对于任意的x，y∈R且x，y≠0满足f（xy）=f（x）+f（y），
∴令x=y=1，得到：f（1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0，
令x=y=-1，得到：f（1）=f（-1）+f（-1），
∴f（-1）=0；
（2）证明：由题意可知，令y=-1，得f（-x）=f（x）+f（-1），
∵f（-1）=0，∴f（-x）=f（x），
∴y=f（x）为偶函数；
（3）解：由（2）函数f（x）是定义在非零实数集上的偶函数．
∴不等式f(

x)+f(x-5)≤0可化为f[

x(x-5)]≤f(1)，f（|

x(x-5)|）≤f（1），
∴-1≤

x(x-5)≤1，即：-6≤x（x-5）≤6且x≠0，x-5≠0，
在坐标系内，如图函数y=x（x-5）图象与y=6，y=-6两直线．
由图可得x∈[-1，0）∪（0，2]∪[3，5）∪（5，6]，
故不等式的解集为：[-1，0）∪（0，2]∪[3，5）∪（5，6]．

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必修1 人教A版单选题高中数学

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