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  • 已知函数f（x）=x2+bx+c（b，c∈R）为偶函数，如果点A（x，y）在函数f（x）的图象上，且点B（x，y2+1）在g（x）=f（x2+c）的图象上．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设F（x）=g（x）-λf（x）．是否存在实数λ，使F（x）在(-∞，-√22)上为减函数，且在[-√22，0)上为增函数？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=x2+bx+c（b，c∈R）为偶函数，如果点A（x，y）在函数f（x）的图象上，且点B（x，y2+1）在g（x）=f（x2+c）的图象上．
      （1）求函数f（x）的解析式；
      （2）设F（x）=g（x）-λf（x）．是否存在实数λ，使F（x）在(-∞，-
      √2
      2
      )上为减函数，且在[-
      √2
      2
      ，0)上为增函数？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵f（x）=x2+bx+c为偶函数，故f（-x）=f（x），即有（-x）2+b（-x）+c=x2+bx+c，解得b=0．
      由因为点A（x，y）在函数f（x）的图象上，且点B（x，y      2+1）在g（x）=f（x2+c）的图象上，所以c=1，所以f（x）=x2+1
      （2）解：g（x）=f（x      2+1）=（x2+1）2+1=x4+2x2+2．
      F（x）=g（x）-λf（x）=x      4+（2-λ）x2+（2-λ），F（x1）-F（x2）=（x1+x2）（x1-x2）[x12+x22+（2-λ）]
      由题设当x      1＜x2＜-
      √2
      2
      时，（x1+x2）（x1-x2）＞0，x12+x22+（2-λ）＞
      1
      2
      +
      1
      2
      +2-λ=3-λ，
      则3-λ≥0，λ≤3；
      当-
      √2
      2
      ＜x1＜x2＜0时，（x1+x2）（x1-x2）＞0，x12+x22+（2-λ）＞
      1
      2
      +
      1
      2
      +2-λ=3-λ，
      则3-λ≤0，λ≥3故λ=3．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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