已知函数g（x）=4x-n2x是奇函数，f（x）=log4（4x+1）+mx是偶函数．（1）求m+n的值；（2）若g（x）＞log4（2a+2）对任意的x≥1恒成立，求a的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

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已知函数g（x）=

4^x-n

2^x

是奇函数，f（x）=log₄（4^x+1）+mx是偶函数．
（1）求m+n的值；
（2）若g（x）＞log₄（2a+2）对任意的x≥1恒成立，求a的取值范围．

见解析

解：（1）由于g（x）为奇函数，且定义域为R，
∴g（0）=0，即

4⁰-n

2⁰

=0，解之得n=1，
由于f（x）=log₄（4^x+1）+mx，
∴f（-x）=log₄（4^-x+1）-mx=log₄（4^x+1）-（m+1）x，
∵f（x）=log₄（4^x+1）+mx是偶函数，
∴f（-x）=f（x），得到mx=-（m+1）x恒成立，故m=-

，
由此可得：m+n的值为

；
（2）由（1）知，g（x）=

4^x-1

2^x

=2^x-2^-x在区间[1，+∞）上时增函数，
所以当x≥1时，g（x）_min=g（1）=

，
由题意，得

{

2a+2＞0

2a+2＜4^3
2

，解得-1＜a＜3，
故实数a的取值范围是：{a|-1＜a＜3}．

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