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  • 借助计算机（器）作某些分段函数图象时，分段函数的表示有时可以利用函数S(x)={1，x≥00，x＜0.例如要表示分段函数g(x)={x，x＞20，x=2-x，x＜2.可以将g（x）表示为g（x）=xS（x-2）+（-x）S（2-x）．设f（x）=（-x2+4x-3）S（x-1）+（x2-1）S（1-x）．（Ⅰ）请把函数f（x）写成分段函数的形式；（Ⅱ）设F（x）=f（x-k），且F（x）为奇函数，写出满足条件的k值；（不需证明）（Ⅲ）设h（x）=（x2-x+a-a2）S（x-a）+（x2+x-a-a2）S（a-x），求函数h（x）的最小值．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      借助计算机（器）作某些分段函数图象时，分段函数的表示有时可以利用函数S(x)=
      {
      1，x≥0
      0，x＜0.
      例如要表示分段函数g(x)=
      {
      x，x＞2
      0，x=2
      -x，x＜2.
      可以将g（x）表示为g（x）=xS（x-2）+（-x）S（2-x）．
      设f（x）=（-x      2+4x-3）S（x-1）+（x2-1）S（1-x）．
      （Ⅰ）请把函数f（x）写成分段函数的形式；
      （Ⅱ）设F（x）=f（x-k），且F（x）为奇函数，写出满足条件的k值；（不需证明）
      （Ⅲ）设h（x）=（x      2-x+a-a2）S（x-a）+（x2+x-a-a2）S（a-x），求函数h（x）的最小值．

      试题解答

      见解析
      解：（Ⅰ）分情况讨论：
      ①当x＞1时，S（x-1）=1且S（1-x）=0，得f（x）=（-x      2+4x-3）×1+（x2-1）×0=-x2+4x-3；
      ②当x=1时，S（x-1）=S（1-x）=1，得f（x）=（-x      2+4x-3）×1+（x2-1）×1=4x-4；
      ③当x＜1时，S（x-1）=0且S（1-x）=1，得f（x）=（-x      2+4x-3）×0+（x2-1）×1=x2-1
      ∴f(x)=
      {
      -x2+4x-3，x＞1
      4x-4 x=1
      x2-1，x＜1
      …（2分）
      （Ⅱ）若F（x）为奇函数，则F（0）=f（-k）=0，
      ①当-k＞1时，解出k=-1或-3，但k=-3不符合题意；②当-k=1时，解出f（-k）=0，恒成立，得k=-1；
      ③当-k＜1时，解出k=-1或1，但k=1不符合题意
      综上所述，得当k=-1时，F（x）为奇函数．…（4分）
      （Ⅲ）由已知，得h(x)=
      {
      x2-x+a-a2，x≥a
      x2+x-a-a2，x＜a .

      并且函数s=x      2-x+a-a2与t=x2+x-a-a2在x=a处的值相同．…（5分）
      ①当a≥
      1
      2
      时，h（x）在区间(-∞，-
      1
      2
      )上单调递减，在区间(-
      1
      2
      ，a)上单调递增，在区间（a，+∞）上单调递增．
      所以，h（x）的最小值为f(-
      1
      2
      )=(-
      1
      2
      )2+(-
      1
      2
      )-a-a2=-a2-a-
      1
      4
      ．…（6分）
      当-
      1
      2
      ＜a＜
      1
      2
      时，h（x）在区间(-∞，-
      1
      2
      )上单调递减，在区间(-
      1
      2
      ，a)上单调递增，在区间(a，
      1
      2
      )上单调递减，在区间(
      1
      2
      ，+∞)上单调递增．
      所以h（x）最小值为f(-
      1
      2
      )与f(
      1
      2
      )中较小的一个，即-a2-a-
      1
      4
      与-a2+a-
      1
      4
      中较小的一个．
      ②当-
      1
      2
      ＜a＜0时，h（x）的最小值为-a2+a-
      1
      4
      ．…（7分）
      ③当0≤a＜
      1
      2
      时，h（x）的最小值为-a2-a-
      1
      4
      ．…（8分）
      ④当a≤-
      1
      2
      时，在区间（-∞，a）上单调递减，在区间(a，
      1
      2
      )上单调递减，在区间(
      1
      2
      ，+∞)上单调递增．
      所以h（x）的最小值为f(
      1
      2
      )=(
      1
      2
      )2-(
      1
      2
      )+a-a2=-a2+a-
      1
      4
      ．…（9分）
      综上所述，得：当a≤0时，h（x）的最小值为-a      2+a-
      1
      4
      ，当a＞0时，h（x）的最小值为-a2-a-
      1
      4
      ．…（10???）
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