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  • 已知函数f(x)=x2+1x+c的图象关于原点对称．（1）求f（x）的表达式；（2）n≥2，n∈N时，求证：[f（1）-1]|[f（22）-22]+…+[f（n2）-n2]＜2；（3）对n≥2，n∈N，x＞0，求证[f（x）]n-f（xn）≥2n-2．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f(x)=
      x2+1
      x+c
      的图象关于原点对称．
      （1）求f（x）的表达式；
      （2）n≥2，n∈N时，求证：[f（1）-1]|[f（2      2）-22]+…+[f（n2）-n2]＜2；
      （3）对n≥2，n∈N，x＞0，求证[f（x）]      n-f（xn）≥2n-2．

      试题解答

      见解析
      解：∵f（x）图象关于原点对称
      ∴f（x）是奇函数，代入特值，f（1）=-f（-1），求得c=0
      ∴f(x)=
      x2+1
      x

      （2）∵n≥2，n∈N
      ∴f(n      2)-n2=
      1
      n2
      ＜
      1
      (n-1)n
      =
      1
      n-1
      -
      1
      n
      (n≥2)
      ∴[f(1)-1]+…+[f(n      2)-n2]＜1+(1-
      1
      2
      )+(
      1
      2
      -
      1
      3
      )+…+(
      1
      n-1
      -
      1
      n
      )＜2
      （3）[f(x)]      n-f(xn)=(x+
      1
      x
      )n-(xn+
      1
      xn
      )
      =      C
      1
      n
      xn-1
      1
      x
      +C
      2
      n
      xn-2(
      1
      x
      )2+…+C
      n-1
      n
      x(
      1
      x
      )n-1
      =
      1
      2
      [(C
      1
      n
      xn-1
      1
      x
      +C
      n-1
      n
      x(
      1
      x
      )n-1)+(C
      2
      n
      xn-2(
      1
      x
      )2+C
      n-2
      n
      x2(
      1
      x
      )n-1)+…+(C
      n-1
      n
      x(
      1
      x
      )n-1+C
      1
      n
      xn-1(
      1
      x
      ))]

      ≥
      1
      2
      [C
      n
      1
      2
      √xn-1
      1
      x
      x(
      1
      x
      )n-1 +
      C
      n
      2
      ?2
      √xn-2
      1
      x 2
      x2(
      1
      x
      ) n-2
      +…+C
      n
      n-1
      ?2
      √(
      1
      x
      ) n-1x n-1
      ]=2n-2
      ∴[f（x）]      n-f（xn）≥2n-2．
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