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已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=2x3+mx2+(1-m)x.(I)当m=2时,求f(x)的解析式;(II)设曲线y=f(x)在x=x0处的切线斜率为k,且对于任意的x0∈[-1,1]-1≤k≤9,求实数m的取值范围.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=2x
3
+mx
2
+(1-m)x.
(I)当m=2时,求f(x)的解析式;
(II)设曲线y=f(x)在x=x
0
处的切线斜率为k,且对于任意的x
0
∈[-1,1]-1≤k≤9,求实数m的取值范围.
试题解答
见解析
解:(I)∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(0)=0.
当x>0时,f(x)=2x
3
+mx
2
+(1-m)x.
当x<0时,∵f(x)=-f(-x)∴f(x)=-(-2x
3
+mx
2
-(1-m)x)=2x
3
-mx
2
+(1-m)x∴f(x)=
{
2x
3
+mx
2
+(1-m)x(x≥0)
2x
3
-mx
2
+(1-m)x(x<0)
.
当m=2时,∴f(x)=
{
2x
3
+2x
2
-x,(x≥0)
2x
3
-2x
2
-x(x<0)
(Ⅱ)由(I)得:∴f′(x)=
{
6x
2
+2mx+(1-m),(x≥0)
6x
2
-2mx+(1-m),(x<0)
曲线y=f(x)在x=x
0
处的切线斜率,对任意的x
0
∈[-1,1],总能不小于-1且不大于9,
则在任意x
0
∈[-1,1]时,-1≤f'(x)≤9恒成立,
∵f'(x)是偶函数
∴对任意x
0
∈(0,1]时,-1≤f'(x
0
)≤9恒成立
1
0
当-
m
6
≤0时,由题意得
{
f′(0)≥-1
f′(1)≤9
∴0≤m≤2
2
0
当0<-
m
6
≤1时
∴
{
f′(-
m
6
) ≥-1
f′(0)≤9
f′(0)≤9
∴-6≤m<0
3
0
当-
m
6
>1时∴
{
f′(0)≤9
f′(1)≥-1
∴-8≤m<-6
综上:-8≤m≤2
∴实数m的取值范围是{m|-8≤m≤2}.
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