设函数f(x)=x2+1x(x≠0)（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明；（2）若0＜x＜1，判断f（x）的单调性，用定义证明，并比较f（sinα）与f(cosα)(0＜α＜π2)的大小．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

设函数f(x)=

x²+1

(x≠0)
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明；
（2）若0＜x＜1，判断f（x）的单调性，用定义证明，并比较f（sinα）与f(cosα)(0＜α＜

)的大小．

见解析

解：（1）函数的定义域关于原点对称，
因为f(-x)=

x²+1

-x

x²+1

=-f(x)，
所以函数f（x）是奇函数．
（2）设0＜x₁＜x₂＜1，
则f(x₂)-f(x₁)=

₂

x₂

₁

x₁

=(x₂-x₁)?

x₁x₂-1

x₁x₂

，
因为0＜x₁＜x₂0，x₁x₂＜1，
所以f(x₂)-f(x₁)=(x₂-x₁)?

x₁x₂-1

x₁x₂

＜0，
即f（x₂）＜f（x₁），所以函数在（0，1???上为单调减函数．
当0＜α＜

时，cosα＞sinα，此时f（sinα）＞f（cosα），
当α=

时，cosα=sinα，此时f（sinα）=f（cosα），
当

＜α＜

时，cosα＜sinα，此时f（sinα）＜f（cosα）．

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