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  • 已知函数f(x)=x2+ax-1( x≠0，常数a∈R）．（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）若a=16，判断函数函数f（x）在x∈[2，+∞）时的单调性，并证明你的结论．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f(x)=x2+
      a
      x
      -1( x≠0，常数a∈R）．
      （1）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
      （2）若a=16，判断函数函数f（x）在x∈[2，+∞）时的单调性，并证明你的结论．

      试题解答

      见解析
      解：（1）当a=0时，对?x∈（-∞，0）∪（0，+∞），有f（-x）=（-x）2-1=x2-1=f（x），
      所以，f（x）为其定义域上的偶函数．
      当a≠0时，f(2)=3+
      a
      2
      ，f(-2)=3-
      a
      2
      ，由f（-2）+f（2）=6≠0得，f（x）不是奇函数；
      由f（-2）-f（2）=-a≠0得，f（x）不是偶函数．
      综上，当a≠0时，f（x）既不是奇函数也不是偶函数．
      （2）a=16时，f（x）在区间[2，+∞）上为增函数，
      证明如下：设2≤x      1＜x2，
      则f(x      1)-f(x2)=(x12+
      16
      x1
      -1)-(x22+
      16
      x2
      -1)=x12-x22+
      16
      x1
      -
      16
      x2
      =(x1-x2)(x1+x2)+
      16(x2-x1)
      x1x2

      =(x      1-x2)[(x1+x2)-
      16
      x1x2
      ]=(x1-x2)?
      (x1+x2)x1x2-16
      x1x2
      ，
      因为2≤x      1＜x2，
      所以x      1-x2＜0，且x1+x2＞4，x1x2＞4，
      故有（x      1+x2）x1x2＞16，
      所以(x      1-x2)?
      (x1+x2)x1x2-16
      x1x2
      ＜0，
      也即f（x      1）-f（x2）＜0，
      f（x      1）＜f（x2），
      由单调性定义知，f（x）在区间[2，+∞）上为增函数．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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