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已知函数f（x）=a-2x4x+1（a∈R）．（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）判断并证明函数f（x）在（0，+∞）上的单调性．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

已知函数f（x）=a-

2^x

4^x+1

（a∈R）．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）判断并证明函数f（x）在（0，+∞）上的单调性．

试题解答

见解析

解：（1）∵函数f（x）=a-

2^x

4^x+1

（a∈R），定义域为实数集R．
①∵f（-x）-f（x）=a-

2^-x

4^-x+1

-(a-

2^x

4^x+1

)=-

2^-x×4^x

1+4^x

2^x

4^x+1

2^x

4^x+1

2^x

4^x+1

=0，∴f（-x）=f（x）对于任意实数x都成立，∴函数f（x）是偶函数；
②又f（-x）+f（x）=a-

2^-x

4^-x+1

+a-

2^x

4^x+1

=2a-

2^x

1+4^x

×2，此式对于任意的实数x不满足f（-x）+f（x）=0，故此函数不是奇函数．
（2）解：判断：函数f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数．
证明：任取0＜x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=a-

2^x₁

4^x₁+1

-(a-

2^x₂

4^x₂+1

(2^x₁-2^x₂)(2^x₁+x₂-1)

(4^x₁+1)(4^x₂+1)

，
由0＜x₁＜x₂，∴2^x₁＜2^x₂，2^x₁+x₂＞1，
∴2^x₁-2^x₂＜0，2^x₁+x₂-1＞0，
又4^x₁+1＞0，4^x₂+1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
所以函数f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数．

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必修1 人教A版单选题高中数学

已知函数f（x）=a-2x4x+1（a∈R）．（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）判断并证明函数f（x）在（0，+∞）上的单调性．试题及答案-单选题-云返教育

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试题解答

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