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  • 函数f(x)=ax+bx2+1是定义在（-∞，+∞）上的奇函数，且f(12)=25．（1）求实数a，b，并确定函数f（x）的解析式；（2）用定义证明f（x）在（-1，1）上是增函数．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      函数f(x)=
      ax+b
      x2+1
      是定义在（-∞，+∞）上的奇函数，且f(
      1
      2
      )=
      2
      5
      ．
      （1）求实数a，b，并确定函数f（x）的解析式；
      （2）用定义证明f（x）在（-1，1）上是增函数．

      试题解答

      见解析
      解：（1）若函数f(x)=
      ax+b
      x2+1
      是定义在（-∞，+∞）上的奇函数，
      则f（-x）=
      -ax+b
      x2+1
      =-f（x）=-
      ax+b
      x2+1

      解得b=0
      又∵f(
      1
      2
      )=
      2
      5
      ．
      ∴
      1
      2
      a
      1
      2
      2+1
      =
      2
      5

      解得a=1
      故f(x)=
      x
      x2+1

      （2）任取区间（-1，1）上两个任意的实数m，n，且m＜n
      则f（m）-f（n）=
      m
      m2+1
      -
      n
      n2+1
      =
      (m-n)(1-mn)
      (m2+1)(n2+1)

      ∵m      2+1＞0，n2+1＞0，m-n＜0，1-mn＞0
      ∴f（m）-f（n）＜0
      即f（m）＜f（n）
      ∴f（x）在（-1，1）上是增函数
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