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  • 已知函数f（x）=x2+3x|x-a|，其中a∈R，设a≠0，函数f（x）在开区间（m，n）上既有最大值又有最小值，求m、n的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=x2+3x|x-a|，其中a∈R，设a≠0，函数f（x）在开区间（m，n）上既有最大值又有最小值，求m、n的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：当x≥a时，f（x）=x2+3x|x-a|=4x2-3ax=4（x-
      3a
      8
      ）2-
      9a2
      16
      ，
      当x＜a时，f（x）=x      2+3x|x-a|=-2x2+3ax=-2（x-
      3a
      4
      ）2+
      9a2
      8
      ，
      要使得函数f（x）在开区间（m，n）内既有最大值又有最小值，则最小值一定在x=a处取得，最大值在x=
      3a
      4
      处取得；
      f（a）=a      2，在区间（-∞，a）内，函数值为a2时x=
      1
      2
      a，
      此时
      a
      2
      ≤m＜
      3a
      4
      ；
      f（
      3a
      4
      ）=
      9a2
      8
      ，而在区间（a，+∞）内函数值为
      9a2
      8
      ，
      此时x=
      3+3
      √3
      8
      a，
      ∴a＜n≤
      3+3
      √3
      8
      a．
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