见解析
解：（1）q=1时，函数f（x）=x2-16x+4在区间[-1，1]上递减，
∴fmax（x）=f（-1）=21fmin（x）=f（1）=-11
（2）假设存在常数q（0＜q＜10），使得当x∈[q，10]时，f（x）的最小值为-51
∵f（x）=x2-16x+q+3=（x-8）2+q-61，x∈[q，10]
∴当0＜q＜8时，f（x）min=q-61=-51，∴q=10?（0，8）；
当q≥8时，f（x）在区间[q，10]上单调递增，f（x）min=q2-15q+3=-51，解得q=6（舍去）或q=9
故存在常数q=9，使得当x∈[q，10]时，f（x）的最小值为-51．
