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  • 已知函数f(x)=log12[x2-2（2a-1）x+8]（a∈R）（1）若使函数f（x）在[a，+∞﹚上为减函数，求a的取值范围；（2）当a=34时，求y=f（sin(2x-π3)），x∈[π12，π2]的值域．（3）若关于x的方程f（x）=-1+log12(x+3)在[1，3]上有且只有一解，求a的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f(x)=log
      1
      2
      [x2-2（2a-1）x+8]（a∈R）
      （1）若使函数f（x）在[a，+∞﹚上为减函数，求a的取值范围；
      （2）当a=
      3
      4
      时，求y=f（sin(2x-
      π
      3
      )），x∈[
      π
      12
      ，
      π
      2
      ]的值域．
      （3）若关于x的方程f（x）=-1+log
      1
      2
      (x+3)在[1，3]上有且只有一解，求a的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵函数f（x）在[a，+∞﹚上为减函数，
      ∴
      {
      2a-1≤a
      a2-2(2a-1)a+8＞0

      ∴-
      4
      3
      ＜a≤1；
      （2）当a=
      3
      4
      时，f(x)=log
      1
      2
      (x2-x+8)
      ∴y=f（sin(2x-
      π
      3
      )）=log
      1
      2
      [sin(2x-
      π
      3
      )-
      1
      2
      ]2+
      31
      4
      ，
      ∵x∈[
      π
      12
      ，
      π
      2
      ]，∴-
      π
      6
      ≤2x-
      π
      3
      ≤
      2π
      3
      ，∴-
      1
      2
      ≤sin（2x-
      π
      3
      ）≤1
      ∴函数的值域为[log
      1
      2
      10，log
      1
      2
      35
      4
      ]；
      （3）原方可化为x      2-2（2a-1）x+8=2x+6＞0，
      即4a=x+
      2
      x
      ，x∈[1，3]，由双勾图形可知：3＜4a≤
      11
      3
      或4a=2
      √2
      ，
      即
      3
      4
      ＜a≤
      11
      12
      或a=
      √2
      2
      ．
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