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  • 已知函数f（x）=x+ax（a＞0）．（Ⅰ）求证：f（x）在区间（-∞，-√a）上是增函数；（Ⅱ）若f（x）在区间[1，2]上的最小值为5，求a的值．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=x+
      a
      x
      （a＞0）．
      （Ⅰ）求证：f（x）在区间（-∞，-
      √a
      ）上是增函数；
      （Ⅱ）若f（x）在区间[1，2]上的最小值为5，求a的值．

      试题解答

      见解析
      解：（Ⅰ）可得x≠0，求导数可得f′（x）=1-
      a
      x2
      ，
      由f′（x）=1-
      a
      x2
      ＞0可得x＞
      √a
      ，或x＜-
      √a

      同理由f′（x）＜0可得-
      √a
      ＜x＜
      √a
      ，
      故函数在区间（-∞，-
      √a
      ）上是增函数；
      （Ⅱ）由（Ⅰ）可知函数在区间（0，
      √a
      ）单调递减，
      在（
      √a
      ，+∞）单调递增，
      （1）当
      √a
      ≤1时，函数在区间[1，2]上单调递增，
      故在x=1处取最小值，即1+a=5，解得a=4，舍去；
      （2）当1＜
      √a
      ＜2时，函数在区间（1，
      √a
      ）单调递减，
      在（
      √a
      ，2）单调递增，故在x=
      √a
      处取最小值，
      可得
      √a
      +
      a
      √a
      =5，解之可得a=
      25
      4
      ?（1，4），应舍去；
      （3）当
      √a
      ≥2时，函数在区间[1，2]上单调递间，
      故在x=2处取最小值，即2+
      a
      2
      =5，解得a=6，符合题意
      综上可得a=6
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      必修1人教A版单选题高中数学

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