已知定义的R上的函数f（x）满足f（x）=f（4-x），又函数f（x+2）在[0，+∞）单调递减．（1）求不等式f（3x）＞f（2x-1）的解集；（2）设（1）中的解集为A，对于任意t∈A时，不等式x2+（t-2）x+1-t＞0恒成立，求实数x的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

已知定义的R上的函数f（x）满足f（x）=f（4-x），又函数f（x+2）在[0，+∞）单调递减．
（1）求不等式f（3x）＞f（2x-1）的解集；
（2）设（1）中的解集为A，对于任意t∈A时，不等式x²+（t-2）x+1-t＞0恒成立，求实数x的取值范围．

试题解答

见解析

解：（1）∵f（x）=f（4-x）∴f（x）图象关于直线x=2对称
又∵f（x+2）在[0，+∞）上单调递减
∴f（x）在[2，+∞）上单调递减
∴不等式f（3x）＞f（2x-1）等价于：|3x-2|＜|2x-1-2|?（3x-2）²＜（2x-3）²?（5x-5）（x+1）＜0?-1＜x＜1
∴原不等式的解集为（-1，1）
（2）令g（t）=（x-1）t+（x²-2x+1）是关于t的函数．
∵t∈（-1，1）时，不等式x²+（t-2）x+（1-t）＞0恒成立
即使g（t）＞0在t∈（-1，1）上恒成立
当x≠1时，

{	g(-1)≥0 g(1)≥0

{	x²-3x+2≥0 x²-x≥0

{	x≤1或x≥2 x≤0或x≥1

?x≤0或x=1或x≥2
∴x≤0或x≥2
当x=1时，0＞0恒不成立，∴x≠1
综上，x∈（-∞，0]∪[2，+∞]

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必修1 人教A版单选题高中数学

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