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  • 在△ABC中，已知a，b，c是角A，B，C的对应边，①若a＞b，则f（x）=（sinA-sinB）?x在R上是增函数； ②若a2-b2=（acosB+bcosA）2，则△ABC是Rt△； ③cosC+sinC的最小值为-√2； ④若cosA=cosB，则A=B；⑤若（1+tanA）（1+tanB）=2，则A+B=3π4，其中正确命题的序号是 ．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      在△ABC中，已知a，b，c是角A，B，C的对应边，①若a＞b，则f（x）=（sinA-sinB）?x在R上是增函数；　②若a2-b2=（acosB+bcosA）2，则△ABC是Rt△；　③cosC+sinC的最小值为-
      √2
      ；　④若cosA=cosB，则A=B；⑤若（1+tanA）（1+tanB）=2，则A+B=
      3π
      4
      ，其中正确命题的序号是          ．

      试题解答

      ①②④
      解：①∵a＞b，根据正弦定理得sinA＞sinB，
      ∴f（x）=（sinA-sinB）?x在R上是增函数，故正确；
      ②∵a      2-b2=（acosB+bcosA）2
      ∴a      2-b2=（acosB+bcosA）2=a2cos2B+2abcosBcosA+b2cos2A，
      整理得a      2sin2B=2abcosBcosA+b2（1+cos2A），
      即sin      2Asin2B=2sinAsinBcosBcosA+sin2B（1+cos2A），
      sinA（sinAsinB-cosBcosA）=sinB+cosA（sinAcosB+sinBcosA）
      sinAcosC=sinB+cosAsinC，∴sin（A-C）=sin（A+C），
      ∴A-C+A+C=π，即A=
      π
      2
      ，故△ABC是Rt△；正确；
      ③cosC+sinC=
      √2
      sin(c+
      π
      4
      )，
      ∵0＜C＜π，∴
      π
      4
      ＜C+
      π
      4
      ＜
      5π
      4

      ∴cosC+sinC∈(- 1，
      √2
      ]，故cosC+sinC的最小值为-
      √2
      ；错；
      ④∵cosA=cosB，且0＜A、B＜π，y=cosx在[0，π]上单调递减，
      ∴A=B；故正确；
      ⑤∵（1+tanA）（1+tanB）=2，
      ∴1+tanAtanB+tanB+tanA=2，即tan（A+B）（1-tanAtanB）+tanAtanB=1
      ∴tan（A+B）=1，∴A+B=kπ+
      π
      4
      ，故错；
      故①②④正确．
      故答案为：①②④
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      必修1人教A版单选题高中数学

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